2022-2023学年福建省三明市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年福建省三明市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.当x→0时，x2是2x的A.A.低阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.高阶无穷小

2.

3.

4.设是正项级数，且un＜υn(n=1，2，…)，则下列命题正确的是()

A.B.C.D.

5.微分方程y′-y=0的通解为()．

A.y=ex+C

B.y=e-x+C

C.y=Cex

D.y=Ce-x

6.下列关系式中正确的有()。A.

B.

C.

D.

7.设f(x)=1-cos2x，g(x)=x2，则当x→0时，比较无穷小量f(x)与g(x)，有

A.f(x)对于g(x)是高阶的无穷小量

B.f(x)对于g(x)是低阶的无穷小量

C.f(x)与g(x)为同阶无穷小量，但非等价无穷小量

D.f(x)与g(x)为等价无穷小量

8.

9.A.

B.x2

C.2x

D.

10.当x→0时，3x是x的（）．

A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D.低阶无穷小量

11.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

12.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

13.

14.

15.二次积分等于()A.A.

B.

C.

D.

16.

17.A.A.arctanx2

B.2xarctanx

C.2xarctanx2

D.

18.

19.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)＞0，则f(x)在(0，1)内A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

20.A.2B.1C.1/2D.-2

二、填空题(20题)21.设区域D由曲线y=x2，y=x围成，则二重积分

22.过M0(1，-1，2)且垂直于平面2x-y+3z-1=0的直线方程为______．

23.设．y=e-3x，则y'________。

24.

25.设z=x2y+siny，=________。

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.

42.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

43.证明：

44.

45.

46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

47.

48.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

49.

50.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

52.

53.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

54.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

55.求微分方程的通解．

56.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

57.

58.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

59.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

60.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

四、解答题(10题)61.

62.

63.计算其中区域D由y=x，y=0，x2+y2=1围成的在第一象限内的区域．

64.

65.所围成的平面区域。

66.在第Ⅰ象限内的曲线上求一点M(x，y)，使过该点的切线被两坐标轴所截线段的长度为最小．

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.分析

在x=0处的可导性

六、解答题(0题)72.求y"-2y'-8y=0的通解．

参考答案

1.D

2.B解析：

3.A

4.B由正项级数的比较判别法可以得到，若小的级数发散，则大的级数必发散，故选B。

5.C所给方程为可分离变量方程．

6.B本题考查的知识点为定积分的性质．

由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。又由于0＜x＜1时，x＞x2，因此

可知应选B。

7.C

8.D解析：

9.C

10.C本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

应依定义考察

由此可知，当x→0时，3x是x的同阶无穷小量，但不是等价无穷小量，故知应选C．

本题应明确的是：考察当x→x0时无穷小量β与无穷小量α的阶的关系时，要判定极限

这里是以α为“基本量”，考生要特别注意此点，才能避免错误．

11.B

12.B如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解，故选B。

13.D解析：

14.A解析：

15.A本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序．

由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其图形如图1-1所示．

交换积分次序，D可以表示为

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知应选A．

16.C

17.C

18.A

19.B由于f'(x)＞0，可知．f(x)在(0，1)内单调增加。因此选B。

20.A本题考查了等价无穷小的代换的知识点。

21.本题考查的知识点为计算二重积分．积分区域D可以表示为：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

22.

本题考查的知识点为直线方程的求解．

由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n=(2，-1，3)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

23.-3e-3x

24.

25.由于z=x2y+siny，可知。

26.11解析：

27.f(x)+Cf(x)+C解析：

28.

29.-1

30.

31.π/2π/2解析：

32.

33.

本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

34.

35.1/21/2解析：

36.0

37.0本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点.

38.

39.2

40.

41.

42.

列表：

说明

43.

44.

45.

46.

47.由一阶线性微分方程通解公式有

48.

49.

则

50.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

51.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

52.

53.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

54.由等价无穷小量的定义可知

55.

56.

57.

58.

59.函数的定义域为

注意

60.由二重积分物理意义知

61.

62.

63.利用极坐标计算，

64.

65.解：D的图形见右图阴影部分．

66.

本题考查的知识点为函数的最大值、最小值应用题．

这类问题的关键是先依条件和题中要求，建立数学模型．

依题目要求需求的最小值．由于L为根式，为了简化