初中数学专题训练-圆-圆周角

精品设计精品设计例在半径等于例在半径等于5cm的圆内有长为5、「3cm的弦，则此弦所对的圆周角为（）.(A)60°或120°(B)30°或120°C)60°D)120°解：如图，OA=OB=5cm,AB=5「3cm.过O作OC上AB于C，15则AC=2AB2v3cm-・.・sina=器2<3/5OA2Ta为锐角,・・・a=60°・・・ZAOB=12O°当圆周角的顶点在优弧怔上时，得ZADB=60；当圆周角的顶点在劣弧晶上时.得ZAD'=120°.・此弦所对的圆周角为60°或120°．说明：此题为基础题，求一条弦所对的圆周角.圆周角的顶点可以在这条弦所对的优孤上也可以这这条弦所对的劣弧上.例（河南省，2002）已知：如图，以AABC的BC边为直径的半圆交AB于D,交AC于E,过E作EF丄BC,垂足为F，且BF:FC=5:1，AB=8，AE=2.求EC的长.分析：连结BE，构造直角三角形，并出现典型的双垂直图形，通过解直角三角形解得.解：如图，连结BE，则BE丄AC,・BE2AB2AE2822260，设BF=5x，BC=6x.・EF丄BC,ZEBF=ZCBE,•••△BEFs^BCE,・・.BE2BFBC.即60=5x・6x,TFC>0,・•・x<2.•BC6x6V2,・・・EC2BC2BE2726012,.・.EC2.说明：①添加辅助线，构造直角三角形；②构成典型的双垂直图形，非常重要.例（陕西省，2002）已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是餓的中点，AD丄BC于点D,BF交AD于点E.（1）求证：BE•BF=BD•BC;（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明道理.分析：（1）连结FC，证△BDE^△BCF即可；（2）要比较两条线段的大小，通常是把两条线段转移到一个三角形内，利用大角对大边来判断证明：（1）连结FC，则BF丄FC.在厶BDE和ABCF中，・ZBEC=ZEDB=90°，ZEBC=ZEBDBEBCBD丽’即BE・BF=BD・BC.•△BDE^△BCF.解：(2)AE>BD，连结AC.AB，则ZBAC=90°=,・・・Z1=Z2.又・Z2+ZABC=90°，Z3+ZABD=90°，・Z2=Z3，・AE=BE.在Rt^EBD中，BE>BD,.・.AE〉BD.说明：①训练学生添加辅助线；②第（2）小问是教材P102中3题的拓展.例（太原市，2002）如图，已知BC为®0的直径，AD丄BC，垂足为D,BF交AD于E,且AE=BF．1）求证：(2)如果siiZFBC=3,AB4^5,求ad的长.5解：(1)连结AC.VBC是®0的直径，・・・ZBAC=90又AD丄BC,垂足为D,・・・Z1=Z3.在AAEB中，AE=BE,AZ1=Z2.AZ2=Z3,・BE=5x(2)设DE=3x,・.・AD丄BC,siiZFBC=匸，5BD=4x.VAE=BE,.・AE=5x,AD=8x.在Rt^ADB中，ZADB=90°,AB4{5,.・.®x)2(4x)2(4y5)2.解这个方程，得x=1，・AD=8.说明：①此题是教材P102中3题的变形；②训练学生求线段长度的方法：直接求和列方程求解.典型例题五例如图，等腰三角形中，ABAC，顶角为40，以其一腰AB为直径作半圆分别交AC、BC于E、D,求ED、DE、AE的度数.分析：一般在圆或半圆中要作出一些辅助线构成直角.本题若连结AD，则AB为直径，AD和BC互相垂直，再应用等腰三角形三线合一的性质,问题就解决了.解连结AD，AB为直径，ADBC

又ABAC，BAD2BAC20，BD40,同理，DE又ABAC，BAD2BAC20，BD40,同理，DE40说明：弧的度数等于它所对的圆心角的度数，也等于它所对的圆周角的度数的2倍.已知中有关于直径的条件时，常添辅助线使之构成直角三角形.典型例题六例（辽宁省试题，2002）已知：如图，AB是®0的半径，C是®0上一点，连结AC,过点C作直线CDAB于D（ADDB），点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交®0于点F，连结AF与直线CD交于点G.（1）求证：AC2AGAF；（2）若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明，若不成立，请说明理由.(1)证明：证法一：延长CG交®0于HCDAB:,ACAH・・・ACGCFA又CAGFAC，・・・ACGsAFCACAF•…肘aF即AC2AGAF证法二：连结CBADC90AB是直径，CDAB,ACBADC90・RtCADsRtBAC・ACDABC又ABCAFC，9・ACDAFC又CAGFAC，9・ACGsAFCAC•AF…AGAC即AC2AGAF

（2）当点E是AD（点A除外）上任意一点时，上述结论仍成立.i）如图（1）,当点E是AD（点（2）当点E是AD（点A除外）上任意一点时，上述结论仍成立.i）如图（1）,当点E是AD（点A除外）上任意一点（不包括点D）时.证法一：设CG与®0交于HCDAB.AFC又CAF.AFCAFsACAG/*-s,AHACGGACACG即AC2AGAF•.•RtCADsRtBAC.ACDABC又ABCAFC，.ACDAFC.CAGFAC，.ACGsFACACAF…AGAC即AC2AGAF证法二：如图（2），连结CBii）如图（3）,当点E与点D重合时，F与G也重合，有AGAFCDAB，..AGAF因此AC2AGAF.F(G)(3)典型例题七例如图，已知：在®0中，弦ABCDBC于E，求证：0E1AD0E分析：设法找出长为20E的线段，由E为BC的中点，联想到中位线定理，进而构造出有关的基本图形，作直径BF，连CF，则0E是BCF的中位线，下面再设法证明CFAD.

证明作直径BF，连结FC、FAOEBC于E点，E为BC的中点，OE为BCF的中位线，OE2cfBF为®0的直径，FAB为直角，即：FAAB,CDAB有FA/&D，CF^ADCFABOE1CFOE1AD22说明：在圆的问题里，作直径是常见的辅助线，由此可得到很多结果；利用与圆有关的角的性质，将圆内线段相等的问题转化为角的相等问题，也是一种重要的证题思路.典型例题八例已知以ABC的一边BC为直径作圆交另一边AC于D，过A引AEBC于E,AE交圆于G.交BD于F，如图，求证：EG:EFAE:EG.CC分析：本题重在考查灵活运用圆周角变换构造相似三角形创建比例线段的能力，要证明的线段共线，怎样“非线性化”呢？咋一看，有一筹莫展之感，但转化为乘积式EG2EG2AEEF就有了“柳暗花明”由BGC90可创造EG2BEEC，于是转证AEEFBEEC，再转化为证比例式：AFAEEFBEEC，再转化为证比例式：AFBEECeF'证明GE连结GB、BC，GC，则BGC90GE2BEEC.下面证明：AEEFBEEC，即AEBEECEF'CDF90CEF9C、D、E、F共圆ECFEDF9又BDA90BEA9ECFEAB9RtECFsRtEAB9EF故BEAEBEECEFAE，EG2AEEF9EG:EFAE:EG.说明：把“共线比例式非线性化”的途径因题而异，本题运用射影定理以BEECEF故BEAEBEECEFAE，EG2AEEF9EG:EFAE:EG.说明：把“共线比例式非线性化”的途径因题而异，本题运用射影定理以BEEC取代EG2来完成，射影定理也是创建比例式的重要依据.典型例题九例如图，AB为®0的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且ACPC的延长线交®0于D,求证：ACDCPB分析：要证ACDC由AB为直径可得，故证出结论.证明连结ADAB为®0的直径，ADP90ACCPCDAC丄AP2说明：这是证斜边中线的问题.，转证ADP90典型例题十例如图，已知：ABC内接于®0,D、E在BC边上，且BDCE,1求证：ABAC2，分析：要证ABAC，由题知，不能直接证出，故需添加辅助线，而由圆周角12，想到了作1、2的对弧，构造弦等、弧等的条件.证明分别延长AD、AE，它们分别交®0于F、G,连结BF、CG•••Z1=Z2,二BF=CG.•••BF=CG,EG=CF.zrac=zccE.^BFD^^CGE,ZF=ZGAB=AC-AB=AC.说明：在圆中有相等的圆周角时常作它们所对的弧和弦，利用在圆周或等圆中相等的圆周角所对的弧等以及圆心角、弦、弦心距之间关系定理证题.典型例题十一BC交®0于D,作BAC的外角平证明VABAC,・BC.又FACBC，AEBC交®0于D,作BAC的外角平证明VABAC,・BC.又FACBC，AE平分FAC・EACFAEB.・AEIBC.又VEACEDC,・BEDC・•・ABIIDE.・・・四边形ABDE是平行四边形.说明：本题考查圆周角定理的推论的应用，解题关键是找到同弧所对的圆周角.典型例题十二例求证：三角形两边之积等于其外接圆直径与第三边的高的积.已知如图，⑥0是ABC的外接圆，AD是ABC的高，AE是®0的直径.求证：ABACADAE.VADBC，・ADC900.VCVADBC，・ADC900.VCE，・ADCsABE.ACAD••ABACADAE…AEAB…说明：本题考查圆周角定理的应用，题目的结论告诉我们一个求三角形外接圆直径的方法.解题关键是连BE，构造ABE，易错点是忽视先写已知，求证.典型例题十三

例如图，AB为®0的弦，过O,A两点任作一®0交AB于C,交®O于D例如图，AB为®0的弦，过O,A两点任作一®0交AB于C,交®O于D求证：CBCD.证明连0A,0B,0D,BD.则0BA0AB,0AB・・・OBCODC.・.・OBDODBODC.CBDCDB.・CBCD说明：本题考查圆周角定理的应用，解题关键是作出辅助线，易错点是作错或作不出正确的辅助线，使解题思路受阻.典型例题十四例如图，ABC内接于®0,AB的垂直平分线0D与BC的延长线相交于P,与AB相交于D.与AB、AC分别相交于M、N,求证：OA2ONOP证明连结OB、OC，OD垂直平分AB，AD=BD，AODBODACB-AOB2，AODACB，AONACP又ANOPNC，AONsPCN9OACP又OCAOACOCAP又CONPOCCONsPOCONOCOCOPOC2ONOP即：OA2ONOP说明：由于本题的结论可转化为0C2ONOP，所以需要证明CONsPOC，而证这两个三角形相似的关键在于证OCAP；为此又需要证明AONsPCN，要证这两个三角形相似，关键又在于证得AONACP.观察图形特征，可发现这两个角的补角有如下关系：AOD是AB所对圆心角AOB的一半，ACB是AB所对的圆周角.它也等于AOB的一半.这个关键问题一解决，本题便能顺利获证.这种图形具有一定的普遍意义，同学们应重点注意.

选择题1）2）3）4）A．1个B．2个C．3个D．4个2．一条弦分圆周为5:7，这条弦所对的两个圆周角为（）A．150，210B．75，1）2）3）4）A．1个B．2个C．3个D．4个2．一条弦分圆周为5:7，这条弦所对的两个圆周角为（）A．150，210B．75，105C．60，1203、®0的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（C）30°或150°A)30°B)150°D．120)．D))60°2404、△ABC中，ZB=90°,以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12则EE的度数为（）．C）100°（D））120°5、如图，△ABC是®0的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD于E点，则图中60。的角共有（）个.B）4（C）5内接于⑥0，Z0BC=25（B）65°（C），C均为®0上的点，45A)60°B)80°6、7．A（A）3如图，△ABC（A）70°如图35A，B

B．（D）6。，则ZA的度数为（60°（D））50°ABO55，则BCA等于（）交）8．如图，为1，AC正方形CDEF,a，BCbA．ab1B．abC．C,F在半圆的直径AB上，D,E在半圆上,1C.abD．a2b25正方形的边长9•已知下列四个命题：①过原点0的直线的解析式为ykx（k0）.②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等•③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等•④在同圆或等圆中，若圆周角不等，则所对的弦也不等，其中正确的命题是（）A•只有①②B.①②③C.①②④D.②③④

10.如图，四边形ABCD内接于⑥0，B0D80，贝BCD80的度数是（）C.140°D.160°11.如图，已知AB和CD的度数为（）C.40°D.70°是®0的两条直径，弦DE//AB，如果11.如图，已知AB和CD的度数为（）C.40°D.70°如图，A、B、C、D是圆上四点，AB、DC延长线交于点E，皿、反:分别为120°、40°,则E等于（）A.40°B.35°C.60°D.30°使用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆形的凹面，成半圆形的为合格，如图所示的四种情况中的合格的是（）14.已知，经过®0上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P,若CAP40,ACP100，则BAC所对的弧的度数为（）A.40°B.100°C.120°D.30°15.如图，A、B、C三点都在®0上，点D是AB延长线上一点，A0C140,CBD的度数为（）C.120°D.30°16.如图,A、B、C是®0上的三点，角140，那么A等于（）°C.140°D.220°17.如图,BC为半圆O直径，A、D为半圆0上两点，AB<3,BC2,则D的度数B.120°C.135°D.150°是（）A.60°ACAC，过A、D两点的圆与AB、GDE相似的三角形的个数为18•如图所示，AD是RtABC的斜边BC上的高，ABAC分别相交于点E、F，弦EF与AD相交于点G,则图中与（）A.5B.4C.3D.219.如图,图中圆周角的个数是（）.A.9个20.如图，B.12个D）.A.7个如图，AB是®O直径，弦AC,BD交于P.21.已知：DC则茁（）A.sinAPDB.cosAPDC.tgAPDD.ctgAPDB点是洌的中点，P点是直径B点是洌的中点，P点是直径MN上一动点，®BPD．22•如图，A点是半圆上一个三等分点,0的半径为1,则APB．A．B．答案与提示：1．B2.B、3C14．C15．C16．4、A；17．C5、B；6、B；7.18．C.19．B；20．BA8.D.．9C10．C11．A12．B13．C21.B;22.C,提示：作A关于MN的对称点A'，连A'B，交MN于P•则PAPB最小，PAPB的最小值为BA'<2；填空题1•如图，已知®0的弦AB、CD相交于点E，的度数为60，虫门度数为100，则AEC=2•如图，已知AB是®0直径，D是圆上任意一点（不与A点重合），连结BD，并延长到C,使DCDB，连结AC，则ABC的形状是三角形。3.如图，ABC内接于®04.在®0中，圆心角AOB5.如图，3.如图，ABC内接于®04.在®0中，圆心角AOB5.如图，100，则弦AB所对圆周角的度数O为圆心，弦CD与直径AB平行，且AC交丽于E点，若AB6cm则梯形ABCD的面积为cmAED60，如图，已知AB是®0直径，AC是弦，0D5,并且ADO和的度数都等于60,那么DC的长是7、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为如图，AB是®0的直径，点D在AB的延长线上，BDOB,CD与®0切于C,那么CAB度.

9.如图，A、B、C是®0上的二点，已知ABC50,9.如图，A、B、C是®0上的二点，已知ABC50,AOC度.如图BA是半圆0的直径，点C在®0上，若ABC50,A度.11.AB为®0的直径，CBCD=.D在AB两旁，0DAB，则12.如图，A0B80D为®0上的点，且C，则13•如果一条弦分圆为1：5两部分，那么这条弧所对的圆周角的度数分别.已知点0为ABC外心，A72，则B0C.15•如图，已知四边形ABCD中ABACAD，BAC40，贝BDC答案:1.8027-2.等腰3.8*：2cm4.50或1205.—v'3cm26.5.7、45°，60°，75°.8.309.10010100°10.401145；12.40；13.30或150；14.144；15.20.解答题

1、如图,AB是®0的直径,CD丄AB于D,AD=9cm,DB=4cm,求CD和AC的长.AB第1题）D（第2题）AB第1题）D（第2题）B2、已知：如图，AABC是®0的内接三角形，®0的直径BD交AC于E,AF丄BD于F,延长AF交BC于G.求证：AB2BGBC3•已知：在®0中，直径AB10cm，弦AC6cm,ACB的平分线交®0于D，求BC、AD和BD的长。4.已知：如图，ABC内接于®0,过圆心0作BC的垂线交®0于点P、Q两点，交AB于D,QP、CA的延长线交于点E,求证：0A20D0E5.如图，在ABC中，ACB90,B25,以C为圆心，CA为半径的圆交AB于6已知：如图在®0中，CD过圆心0，且CDAB,垂足为D，过点C任作一弦CF交®0于F,交AB于E,求证：BC2CFCE7.如图，两弦AC7.如图，两弦AC、BD交圆内于点M度数是120,度数是90,而ABMCDM面积之和为25^3cm2，求这两个三角形