第二章 连续时间系统的时域分析6-10

第二章连续时间系统的时域分析2.10用算子符号表示微分方程2.8卷积积分的性质2.7卷积2.6冲激响应与阶跃响应本章要求及习题作业2.9用卷积积分分析多径失真的消除12.6冲激响应与阶跃响应以单位冲激信号作为激励，系统产生的零状态响应称为“单位冲激响应”，以h(t)表示。系统一、定义t>0时，响应是如何产生的？2注:系统是因果的，则表现为:t<0时，h(t)=0

系统是稳定的，则表现为:t→∞时，h(t)=0以单位阶跃信号u(t)作为激励，系统产生的零状态响应称为“单位阶跃响应”，以g(t)表示。当时，系统的冲激响应是一个特殊的零输入响应。31、先计算系统的阶跃响应，然后利用冲激响应与阶跃响应的关系求冲激响应与的关系（线性时不变系统）二、h(t)的求解4+-如52、从微分方程求解得冲激响应6

例1：求微分方程所描述系统的冲激响应h(t)。

解：7将代入微分方程，并比较方程两边系数可求出：所以8间接法求冲激响应由系统的线性时不变性有：9例：解微分方程解：先求右端为时的响应利用冲击函数匹配法可得：10例：解微分方程11三、阶跃响应g(t)的求法由线性系统的微积分特性可知：

由于

反之注:对于阶跃响应的求解，往往是先求出h(t),

然后一次积分得出。122.7卷积一、卷积的定义对于任意两个信号f1(t)和f2(t)，两者的卷积运算定义为由于任意信号可以用冲激信号的组合表示，即13e(t)激励下线性时不变系统的零状态响应

即线性时不变系统任意激励下的零状态响应，等于激励与冲激响应的卷积。LTI(t)h(t)（定义）(t)h(t)（时不变性）

e(t)(t)e(t)h(t)e(t)=r(t)=e()(t)e()h(t)（齐次性）(可加性)14a.分段－利用u(t)或者它的时移形式,写出f1(t)和f2(t)的闭式表达式;b.定范围－根据被积函数或它的时移形式,以及它的反转时移因子，确定积分限;c.整理－形式化简后的每一项单个积分均应乘以u(t)或其时移形式,确保积分的上限小于下限时,积分等于0.二、卷及积分的计算(解析法)

(以闭合解析表达式来求解)15*积分上下限的问题:卷积积分公式中，积分限是从实际计算要视具体情况而定。当被卷积函数中有分段连续函数时，直接用公式。1610.5例：求e(t)激励下系统的零状态响应r(t)1718三、卷积积分的计算(图解法)

由上述卷积积分的公式可总结出卷积积分计算步骤。首先将e(t)和h(t)的自变量t改成，再进行如下运算：反褶、时移、相乘、积分。

反褶：

时移：

相乘：

积分：

计算卷积积分的关键是确定积分限。19

0t12h(t)x(t)-1/210t1

例:

已知信号x(t)与h(t)如下图，求解：

01-2-1/211tt-21）当时，202）当时，-1/211tt-2-1/211tt-23）当，即当时4）当，即当时，-1/211tt-221-1/211tt-25）当，即时，-1/213/223t022例:已知f1(t)=u(t),f2(t)=e-(t-1)u(t-1)，求f1(t)*f2(t)。

解法1：

不变，反褶1）当时，2）当时，23解法2：不变，反褶1）当时，2）当时，24若f1(t)的非零区间为[t1，t2]，f2(t)的非零区间为[t3，t4]，则f1(t)*f2(t)的非零区间为[t1+t3，t2+t4]由图解分析可以看出，卷积中积分限的确定取决于两个图形交叠部分的范围。卷积结果所占有的时宽等于两个函数各自时宽的总和。252.8卷积积分的性质一、卷积积分的代数性质（1）交换律26（2）分配律相当于并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。27（3）结合律相当于串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。h2(t)h1(t)e(t)28二、卷积积分的微分与积分1、微分性两函数相卷积后的导数等于:两函数之一的导数与另一函数相卷积.同理可证292、积分性两函数相卷积后的积分等于:两函数之一的积分与另一函数相卷积.3、微积分性30三、f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：31四、卷积积分的时移性质两函数卷积中存在的延迟特性,可以在两函数之间转移.32解：f2(t)=[δ(t)+δ(t-3)]，则

f(t)=f1(t)*[δ(t)+δ(t-3)]=f1(t)*δ(t)+f1(t)*δ(t-3)=f1(t)+f1(t-3)例1：已知f1(t)、f2(t)如图所示，求f(t)=f1(t)*f2(t)，并画出s(t)的波形。33例2：已知波形如图，求0123t20123t1-1解：0123t(2)(2)0123t1012345t-2234-2T0At2Tt0AA2A02Tt-2TaA-T(1)(1)0Tt0Tt35362.9用卷积积分分析多径失真的消除何为多径传播？对两径传播系统冲激响应对N径传播37任意激励下的响应：回波系统逆系统要保证输出信号为原激励信号，则需满足：38回波系统逆系统设则对两径传播39设则402.10用算子符号表示微分方程为方便求解微分方程，引入以下算子符号。41一、算子符号的一般运算规则42二、用算子符号建立微分方程电感电容43二、传输算子H(p)4445作业2-62-1046小结基本概念：系统的数学模型、特征方程、特征根、零输入响应、零状态响应、自然响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应、单位冲激响应、单位阶跃响应、卷积。基本运算：零输入响应的求解、零状态响应的求解、单位冲激响应及单位阶跃响应的求解、卷积的几何含义、卷积性质的应用。47本章要求会求解常系数微分方程。深刻理解0－和0＋时刻系统状态的含义，并利用冲激函数匹配法求0+值。理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法。掌握系统全响应的分解，会求解各分量；掌握线性时不变系统的含义。掌握卷积积分的定义、性质，会利用图解法求解卷积运算，以及LTI的零状态响应。48