高三上学期双周练（三）数学试卷

高三数学双周练（三）（完卷时间：120分钟满分150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则A． B． C． D．2.已知复数z满足(z－3)(1＋i)＝1－i，|z|＝A．eq\r(,2)B．eq\r(,3)C．eq\r(,5)D．eq\r(,10)3.已知直线eql\s\do(1)：eq(3＋m)x＋4y＝5－3m，l\s\do(2)：2x＋(5＋m)y＝8，则“eql\s\do(1)∥l\s\do(2)”是“m＝－7”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图池盆几何体是一个刍童，其中上下底面为正方形边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形梯形的高为eq2\r(,2)，若盆中积水深为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为A．eq\f(14\r(,2),3)B．eq\f(28,3)C．eq\f(28\r(,2),3)D．eq\f(52,3)5..函数eqy＝\f(2sinx,x\s\up6(2)＋1)(x∈)的图象大致为ABCD6.若函数在区间内单调递减，则的最大值为A．B．C．D．7.直线x﹣y+1＝0经过椭圆的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若，则该椭圆的离心率是A． B． C．2﹣2 D．﹣18.将函数的图象绕点(-3，0)逆时针旋转，得到曲线C，对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图象，则最大时的正切值为A.B.C.1D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知平面向量，，，下列说法正确的是A.若，则 B.若，则C.若，则 D.10.如图，点A是单位圆O与x轴正半轴的交点，点P是圆O上第一象限内的动点，将点P绕原点O逆时针旋转eq\f(π,3)至点Q，则eq\o\ac(\S\UP7(→),OA)·(\o\ac(\S\UP7(→),OQ)－\o\ac(\S\UP7(→),OP))的值可能为A．－1B．eq－\f(\r(,3),2)C．eq－\f(\r(,2),2)D．eq－\f(1,2)11.已知椭圆C：上有一点P，F1、F2分别为左、右焦点，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列选项正确的是A．若θ＝60°，则S＝3 B．若S＝9，则θ＝90° C．若△PF1F2为钝角三角形，则S∈（0，） D．椭圆C内接矩形的周长范围是（12，20]12已知正方体的棱长为4，点，分别是棱，的中点，点在四边形内，点在线段上，若，则A.点的轨迹的长度为B.线段的轨迹与平面的交线为圆弧C.长度的最小值为D.长度的最大值为三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角θ的终边与直线x＋2y＋1＝0垂直，eqsin(\f(π,2)＋2θ)的值为．14.若λsin160°＋tan20°＝eq\r(3)，则实数λ的值为15已知平面向量，，是单位向量，且，则的取值范围为______.16.若矩形ABCD满足，则称这样的矩形为黄金矩形，现有如图1所示的黄金矩形卡片ABCD,已知AD=2x,AB=2y,E是CD的中点，EF⊥CD,FG⊥EF,且EF=FG=x,沿EF,FG剪开，用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型，若连结这个几何模型的各个顶点，便得到一个正面体；若y=2,则该正多面体的表面积为.（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.17.在平面直角坐标系中，已知向量.（1）若，求的值；（2）若在上的投影向量长度为，求的值.18.已知为数列的前项和，，，，为数列的前项和。（1）求数列的通项公式；（2）若对所有恒成立，求满足条件的最小整数值。19.△ABC中，AB＝2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC．(1)若eqsin∠ABC＝\f(\r(,5),5)，求cos∠BAC；(2)若AD＝AC，且△ABC的面积为eq\r(,7)，求BC．20.如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝2BC＝4，E是棱PD上的动点（除端点外），F，M分别为AB，CE的中点．（1）求证：FM∥平面PAD；（2）若直线EF与平面PAD所成的最大角为30°，求平面CEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值．21.椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点.为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值.22已知函数.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若函数有两个零点，证明：.

参考答案17.【详解】（1）因为，所以，故，.（2）因为在上的投影向量长度为，所以，所以，所以或或或，解得或或或，因为，所以.18.解：（1）由题意当时，两式相减得：1分即：所以时，为等比数列2分又因为时，所以3分所以，对所有，是以2为首项，8为公比的等比数列4分所以5分（2）由题知：6分8分所以10分所以11分所以满足恒成立的最小值为674．19.法一：(1)在△ABC中，由正弦定理可得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，又AB＝eq2AC，sin∠ABC＝\f(\r(,5),5)，所以eqsin∠ACB＝\f(2\r(,5),5).所以eqcos∠ABC＝\f(2\r(,5),5)，eqcos∠ACB＝±\f(\r(,5),5)，所以cos∠CAB＝cos(π－∠ABC－∠ACB)＝－cos(∠ABC＋∠ACB)，即cos∠CAB＝sin∠ABCsin∠ACB－cos∠ABCcos∠ACB，所以eqcos∠CAB＝\f(\r(,5),5)×\f(2\r(,5),5)±\f(\r(,5),5)×\f(2\r(,5),5)＝0或eq\f(4,5)．(2)由已知，设AB＝2AC＝2t，所以AD＝AC＝t，另设∠CAD＝θ．由eqS\s\do(△ABC)＝S\s\do(△ACD)＋S\s\do(△ABD)，可得eq\f(1,2)·t·2t·sin2θ＝\f(1,2)t·t·sinθ＋\f(1,2)·2t·t·sinθ，所以eq2sinθ·cosθ＝\f(1,2)sinθ＋sinθ，因为sinθ≠0，所以eqcosθ＝\f(3,4)，所以eqcos2θ＝2cos\s\up6(2)θ－1＝\f(1,8)，又0＜2θ＜π，sin2θ＝EQ\R(,1－cos\S(2)2θ)＝EQ\F(3\R(,7),8)，又S△ABCeq＝\r(,7)＝\f(1,2)·t·2t·sin2θ＝\f(3\r(,7),8)t\s\up6(2)，所以eqt\s\up6(2)＝\f(8,3)，所以eqBC\s\up6(2)＝t\s\up6(2)＋4t\s\up6(2)－2·t·2t·cos2θ＝\f(9,2)t\s\up6(2)＝\f(9,2)×\f(8,3)＝12，所以eqBC＝2\r(,3)，法二：(1)同法一；(2)由已知，设∠CAD＝∠BAD＝θ，AB＝2AC＝2t，所以AD＝AC＝t，因为eq\f(S\s\do(△ABD),S\s\do(△ACD))＝\f(\f(1,2)·2·t·sinθ,\f(1,2)·t·t·sinθ)＝\f(2,1)＝\f(BD,CD)，故可设eqBD＝2x，CD＝x，在△ABD和△ACD中，分别由余弦定理可得eqBD\s\up6(2)＝AB\s\up6(2)＋AD\s\up6(2)－2AB·AD·cosθ，CD\s\up6(2)＝AC\s\up6(2)＋AD\s\up6(2)－2AC·AD·cosθ，即eq4x\s\up6(2)＝4t\s\up6(2)＋t\s\up6(2)－2·2t·cosθ＝5t\s\up6(2)－4t\s\up6(2)·cosθ①，eqx\s\up6(2)＝t\s\up6(2)＋t\s\up6(2)－2·t·t·cosθ＝2t\s\up6(2)－2t\s\up6(2)·cosθ②，联立①②可得eq4t\s\up6(2)·cosθ＝3t\s\up6(2)，cosθ＝\f(3,4)，所以eqcos2θ＝2cos\s\up6(2)θ－1＝\f(1,8)，又0＜2θ＜π，eqsin2θ＝\r(,1－cos\s\up6(2)2θ)＝EQ\F(3\R(,7),8)，又S△ABCeq＝\r(,7)＝\f(1,2)·t·2t·sin2θ＝\f(3\r(,7),8)t\s\up6(2)，所以eqt\s\up6(2)＝\f(8,3)，所以eqBC\s\up6(2)＝t\s\up6(2)＋4t\s\up6(2)－2·t·2t·cos2θ＝\f(9,2)t\s\up6(2)＝\f(9,2)×\f(8,3)＝12，所以eqBC＝2\r(,3)．20.解：（1）证明：取CD的中点N，连结FN，MN，因为F，N分别为AB，CD的中点，所以FN∥AD，又因为FN平面PAD，AD平面PAD，所以FN∥平面PAD，同理，MN∥平面PAD，又因为FNMN＝N，所以平面MFN∥平面PAD，又因为FM平面MFN，所以FM∥平面PAD；（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以∠AEF即为直线EF与平面PAD所成的角，且tan∠AEF＝，当AE最小，E为PD中点时，AE⊥PD，此时∠AEF最大为30°，又因为AF＝2，所以AE＝，∴AD＝4，取AD的中点O，连结PO，OC，易知PO⊥平面ABCD，因为AO∥BC且AO＝BC，所以四边形ABCO为平行四边形，所以AO⊥OC，以O为坐标原点，的方向为x轴正方形，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz，则设为平面CEF的法向量，则，即，可取，设平面PAD的法向量为，所以．所以平面CEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为．2