本科经济计量学第9章第4版课件

第9章异方差:如果误差方差不是常数会有什么结果古典线性回归模型（CLRM）的基本假定中有一条是：随机扰动项是同方差的。如果随机扰动项ui随着i的不同而不同，我们称随机扰动项具有异方差性。本章主要讨论的是以下问题：（1）异方差有什么性质？（2）异方差的后果是什么？（3）如何检验异方差的存在与否？（4）异方差有那些补救措施？9.1异方差的性质9.2异方差的后果9.3异方差的诊断9.4异方差的补救措施9.5White异方差校正后的标准误和t统计量9.6若干异方差实例9.7小结9.1异方差的性质XY储蓄0X0Y储蓄(a)同方差(b)异方差个人可支配收入个人可支配收入异方差：E(ui2)=i2返回首页例9.1放松管制后纽约股票交易所(NYSE)的经纪人佣金1975年四五月间，债券交易委员会废除了对于纽约股票交易所股票交易固定佣金率的规定，允许股票经纪人在竞争的基础上索取佣金。表9-1给出了从1975年4月到1978年12月间经纪人对机构投资者索要的平均每股佣金的季度数据。表9-1中X1—佣金率，美分/股(0至199股)

X2—佣金率，美分/股(200至999股)X3—佣金率，美分/股(1000至9999股)X4—佣金率，美分/股(10000股以上)

表9-1的数据有两个特征1.放松管制以来，佣金率有下降的趋势2.四类佣金率的均值、方差存在显著差异(见表9-1和下图)佣金率四类佣金率的方差有显著差异，也就是说，随着股票交易量的增大，佣金率的方差也随之变化，这就是异方差。如果我们想建立一个回归模型来解释佣金率对股票交易数量(和其它变量)的函数，那么与高交易量客户相关的误差项方差将会低于与低交易量客户相关的误差项方差。这对我们建立的回归模型是否有影响、有怎样的影响？该怎样修正？下面来看例9.2。Eviews软件回归结果如下：DependentVariable:WAGE

Method:LeastSquaresSample:1523

Includedobservations:523VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-4.5244721.239348-3.6506870.0003EDUC0.9130180.08219011.108680.0000EXPER0.0968100.0177195.4635130.0000R-squared0.194953

Meandependentvar9.118623AdjustedR-squared0.191856

S.D.dependentvar5.143200S.E.ofregression4.623573

Akaikeinfocriterion5.905932Sumsquaredresid11116.26

Schwarzcriterion5.930366Loglikelihood-1541.401

F-statistic62.96235Durbin-Watsonstat1.867684

Prob(F-statistic)0.000000（9-3）例9-3图9-3回归方程(9-3)的残差平方图9-49.2异方差的后果OLS估计量仍是线性无偏的，但不再具有有效性，即不再具有最小方差性。残差方差不再是真实的无偏估计量根据常用估计OLS估计量方差的公式得到的方差通常是有偏的。T检验和F检验失效回到例9.2中得到的回归方程(9-3)，由于异方差的存在，该方程的t检验失效。返回首页我们来简单看一下为什么会产生这样的后果。

运用普通最小二乘法的原理是要使残差平方和最小，如果在异方差情况下仍然使用普通最小二乘法，每一个ei2都有同样的权重，无论它是来自于一个较大方差的总体还是来自于一个较小方差的总体。这样做是不合适的。我们应该给那些取自较小方差总体的观察值以更大的权重，而给那些取自较大方差总体的观察值以较小的权重，这能够使我们更为精确地估计总体回归函数。这就是加权最小二乘法(weightedleastsquares)。图9-59.3.1根据问题的性质所考察问题的性质往往提供了是否存在异方差的信息。在涉及不均匀单位的横截面数据中，常存在异方差。在例9.2中便是如此。我们可以根据问题的性质定性地分析是否存在异方差问题。这是常用方法之一。9.3.2残差的图形检验对回归得到的残差作图进行分析是常用的另一种异方差的检验方法。为观察异方差的存在与否，我们常常使用的残差图有下列几种：1.残差ei对X的散点图；2.残差ei对每一个解释变量的散点图；3.残差ei对应变量的估计值的散点图；4.残差平方ei2对X的散点图；5.残差平方ei2对每一个解释变量的散点图；6.残差平方ei2对应变量的估计值的散点图；0Xe2a)0Xe2b)0Xe2e)0Xe2d)0Xe2c)..........…...............................................................................回到例9.2，现在我们做ei2对X的散点图。图9-7与（9.3）式工资的估计值

9.3.3帕克检验(Parktest)

如果存在异方差，异方差中的方差可能与一个或多个解释变量系统相关。为此，我们可作i2对一个或多个解释变量的回归。例如在双变量模型中，可运行下面的回归方程：

lni2=B1+B2lnXi+vi(9-4)

其中vi是误差项。这就是帕克检验。由于方差i2是未知的，帕克建议用ei来代替i，运行如下回归方程：

lnei2=B1+B2lnXi+vi(9-5)

ei2可从原始的回归方程中获得，比如模型(9-3)。帕克检验的步骤：作普通最小二乘回归，不考虑异方差问题。从原始回归方程中得残差ei，求其平方，再取对数。利用原始模型中的每个解释变量作形如(9-5)的回归。或作ei2对Y的估计值的回归。检验零假设B2=0，也即不存在异方差。如果拒绝零假设，则意味着可能存在异方差，但接受零假设并不意味着一定不存在异方差。在5％的显著水平下，估计的斜率系数是统计显著的。帕克检验的缺陷：在上述回归方程中，误差项vi本身可能存在异方差。所以，判断回归方程中是否存在异方差，可能需要更多的检验。另外：帕克所选择的特殊函数形式只是建议性的，其它的函数形式也许会使我们得到不同的结论。例9.3工资回归与帕克检验我们来解释工资回归方程(9-3)。把从这个回归方程中得到的残差提取出来，估计得到如下结果（lsss1^2cwagef）

：=-10.35965+3.467se=(11.795)(1.255)(9-6)t=(-0.8783)(2.762)r2=0.0.0144p=(0.3802)(0.0059)取对数后Eviews软件的回归结果如下：lslog(ss1^2)clog(wagef)DependentVariable:LOG(ss1^2)Method:LeastSquaresSample:1523Includedobservations:522VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-3.3509780.809702-4.1385330.0000LOG(WAGEF)2.2319660.3686666.0541620.0000R-squared0.211964

Meandependentvar1.518696AdjustedR-squared0.162712

S.D.dependentvar2.194627S.E.ofregression2.024705

Akaikeinfocriterion4.347534Sumsquaredresid65.59091

Schwarzcriterion4.363847Loglikelihood-37.17848

F-statistic36.65287Durbin-Watsonstat1.661072

Prob(F-statistic)0.000000每种情形的零假设都是不存在异方差，零假设为B2=0。如果零假设被拒绝，则表明可能存在异方差。例9.4工资回归与Glejser检验根据回归方程(9-3)的残差估计前面模型，得到的结果如下：(9-10)(9-11)(9-12)对回归方程(9-3)的残差估计以上模型，对斜率系数进行显著性检验，从而判断是否存在异方差。可以看出三个方程的检验结果都是一样的，即拒绝零假设，斜率系数是统计显著的，存在异方差。对Glejser检验要注意的问题与帕克检验一样，上述方程中的误差项本身可能就存在异方差和系列相关问题，但对于大样本，上述模型能很好地检验异方差问题。9.3.5White检验(White’sGeneralHeteroscedasticityTest)

对模型Yi=B1+B2X2i+B3X3i+uiWhite检验步骤如下：用普通最小二乘法估计上面回归方程，得到残差ei。作辅助回归：ei2=A1+A2X2i+A3X3i+A4X2i2+A5X3i2+A6X2iX3i+vi求辅助回归方程的R2值。因为此R2值与样本容量(n)的乘积服从分布，自由度等于该方程中解释变量的个数(不包括截距项)。计算统计量，进行假设检验。（零假设：不存在异方差）例9.5工资回归与怀特的一般异方差检验继续回到模型(9-3)，怀特异方差检验的回归结果如下：（在Eviews中White检验的操作较为简单，只需要在(9-3)的回归输出结果中用View－ResidualTest-WhiteHeteroskedasticity即可。）

WhiteHeteroskedasticityTest:F-statistic2.269163Probability0.046542Obs*R-squared11.23102Probability0.046987TestEquation:DependentVariable:RESID^2Method:LeastSquaresVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C14.3829671.347260.2015910.8403EDUC-1.1832969.137968-0.1294920.8970EDUC^20.1686390.3006760.5608650.5753EDUC*EXPER0.0222390.1041170.2135910.8309EXPER-1.4011301.912126-0.7327600.4640EXPER^20.0271130.0209691.2930390.1966R-squared0.021474

Meandependentvar21.25480AdjustedR-squared0.012011

S.D.dependentvar65.53846S.E.ofregression65.14369

Akaikeinfocriterion11.20247Sumsquaredresid2193993.

Schwarzcriterion11.25134Loglikelihood-2923.447

F-statistic2.269163Durbin-Watsonstat2.016101

Prob(F-statistic)0.046542White检验的一个缺陷是它太一般化了。如果有好几个解释变量的话，则在回归方程中要包括这些变量，变量的平方(或者更高次幂)以及它们的交叉乘积项，这会迅速地降低自由度。因此，在引入太多变量时，必须谨慎一些。有时，我们可以去掉变量的交叉乘积项。9.3.6异方差的其它检验方法(1)斯皮尔曼(Spearman)秩相关检验(2)戈德费尔德－匡特(Goldfeld-Quandt)检验(3)巴特莱特(Bartlett)方差同质性检验(4)匹克(Peak)检验(5)布鲁尔什－培甘(Breusch-Pagan)检验(6)

CUSUMSQ检验9.4异方差的补救措施

返回首页我们在前面已经看到，异方差的存在并不破坏普通最小二乘法估计量的无偏性，但是估计量却不再是有效的，即使对大样本也是如此。缺乏有效性，就使通常假设检验中检验统计量的值不可靠。因此，如果怀疑存在异方差或者已经检测到了异方差的存在，就应该寻求补救的措施。补救方式取决于(1)误差方差的真实值是已知的(2)误差方差的真实值是未知的。9.4.1加权最小二乘法(WLS)——误差方差的真实值已知情形下

对模型Yi=B1+B2Xi+ui

如果异方差是已知的，可对原模型两边同除以，得到：令得到的模型：满足同方差性。注意，这是一个无截距项的三变量回归模型。9.4.2加权最小二乘法(WLS)——误差方差的真实值未知情形下情形1：误差方差与Xi成比例：平方根变换（模型两边同除以Xi的平方根）情形2：误差方差与Xi2成比例：模型两边同除以Xi。一般的做法：在用常规的OLS法估计之后，我们将回归所得的残差做ei－X图，观察图形，根据图形的特点判断误差方差是与解释变量X成比例还是与X的平方成比例，根据判断结果选择处理方法。误差方差与解释变量X成比例误差方差与X的平方成比例eieiXX例9.6变换后的工资回归方程对工资回归模型(9-3)，已知可能存在异方差。作平方根变换，得到如下结果：DependentVariable:WAGE/(@SQRT(EDUC))Method:LeastSquaresSample:1523Includedobservations:523VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.1/(@SQRT(EDUC))-2.645611.07689-2.456710.0143@SQRT(EDUC)0.781380.07176310.88840.0000EXPER/(@SQRT(EDUC))0.0876980.0163685.3578960.0000R-squared0.084405

Meandependentvar2.517214AdjustedR-squared0.080884

S.D.dependentvar1.316767S.E.ofregression1.262392

Akaikeinfocriterion3.309613Sumsquaredresid828.6893

Schwarzcriterion3.334047Loglikelihood-862.464

Durbin-Watsonstat1.819673(9-24)要想得到原始的（未经变换）工资方程，只需将上式两边同乘以，可与最初的回归方程(9-3)进行比较：(9-25)在确定误差方差的形式后，可以对原模型进行变换，然后对变换后的模型进行估计。

在Eviews软件操作中，需要先确定：a.是否存在异方差；b.异方差的形式；c.如何进行变换，也即确定权系数的形式。在得知以上信息后，利用Eviews软件具体操作如下：在主菜单中Quick－Estimateequation，点击方程设定对话框中的Options键，选择WeightedLs/TSLS选项，在Weight后面的空格中添入权数序列的名称即可。上例中，在Weight后面的空格中添入权数序列的名称1/educ^0.5即可。Eviews操作

9.4.3重新设定模型除了前面介绍的异方差的补救措施以外，我们还可以通过对模型的重新设定，选择不同的函数形式来达到消除异方差的目的(与前两种方法也有相通之处)。例如选用对数形式来估计模型：

lnYi=B1+B2lnXi+ui

(9-28)在该模型中，异方差的程度被大大缩小了，因为对数变换压缩了测定变量的尺度，从而把两个变量值间的10倍差异缩小为2倍差异。例如，90是9的10倍，但ln90(=4.4998)只有ln9(=2.1972)的两倍。这是对数变换的优点。例9.7工资对数线性模型

对工资数据，其对数线性模型如下：

DependentVariable:log(WAGE)Method:LeastSquaresSample:1523

Includedobservations:523VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-0.7945520.259204-3.0653540.0023Log(EDUC)0.9573220.09170210.439480.0000Log(EXPER)0.1661890.0246906.7310010.0000R-squared0.193841

Meandependentvar2.072301AdjustedR-squared0.190740

S.D.dependentvar0.522545S.E.ofregression0.470076

Akaikeinfocriterion1.333873Sumsquaredresid114.9050

Schwarzcriterion1.358307Loglikelihood-345.8079

F-statistic62.51699Durbin-Watsonstat1.772461

Prob(F-statistic)0.000000(9-29)9.5White异方差校正后的标准差和t统计量

前面我们已经说过异方差产生的后果，但White建立了一种考虑到异方差的存在的估计标准差和回归系数的方法，此时我们可以继续使用t检验和F检验，不过这时的OLS估计量是渐近有效的,也即对大样本是有效的。对工资回归一例，用White异方差校正后的回归函数如下：

返回首页（在Eviews软件中，在主菜单中Quick－Estimateequation，点击方程设定对话框中的Options键，点击Heteroskedasticity即可。）DependentVariable:(WAGE)Method:LeastSquaresSample:1523

Includedobservations:523WhiteHeteroskedasticity-ConsistentStandardErrors&CovarianceVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-4.5244721.273102-3.5538960.0004EDUC0.9130180.08845410.321930.0000EXPER0.0968100.0186765.1837350.0000R-squared0.194953

Meandependentvar9.118623AdjustedR-squared0.191856

S.D.dependentvar5.143200S.E.ofregression4.623573

Akaikeinfocriterion5.905932Sumsquaredresid11116.26

Schwarzcriterion5.930366Loglikelihood-1541.401

F-statistic62.96235Durbin-Watsonstat1.867684

Prob(F-statistic)0.000000（9-30）9.6若干异方差实例例9.8规模经济或异方差

纽约股票交易所最初是极力反对对经纪佣金率放松管制的。NYSE曾向股票交易委员会提交了一份报告，认为在经纪行业中存在规模经济，因此由垄断决定的固定佣金率是公正的。NYSE所提交的经济计量分析基本上是围绕着以下回归函数来进行的：

Ŷi=476000+31.348Xi－(1.083×10-6)Xi2

(9-32)t=(2.98)(40.39)(-6.54)R2=0.934

返回首页其中，Y＝总成本，X＝股票交易的数量。从模型可看出，总成本和交易量呈正相关，但由于Xi2系数为负，并且是统计显著的，这意味着总成本是以一个递减的速率在增加。因此，NYSE认为在经纪行业中存在规模经济，从而证明了NYSE的垄断地位是正当的。

然而美国司法部反托拉斯局却认为该模型中存在异方差问题(因为在估计成本函数时未考虑到样本中所包括的小公司和大公司的差别)，反托拉斯局重新估计了该方程，得到如下结果：

Ŷi=342000+25.57Xi+(4.34×10-6)Xi2

(9-33)t=(32.3)(7.07)(0.503)

从此式中可看出，二次项不仅是统计不显著的，而且其符号也发生了变化。这完全推翻了NYSE