高数课件不定积分-d3习题课

二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用机动目录上页下页返回结束中值定理及导数的应用(二)

第三章一、微分中值定理罗尔定理拉格朗日定理推广柯西定理推广泰勒定理推广记：几个常用的展开式涉及到的题型：证明题：计算题：求展开式（直接法、间接法）。二、函数性态的研究1.单调性与极值洛必达法则单调性判别法；极值的判定：判别法I、判别法II；最大值、最小值的求法。2.凹凸性与拐点凹凸性判别法；拐点的判定.3.渐近线水平渐近线；垂直渐近线；斜渐近线。4.曲率涉及到的题型：证明题：不等式、方程的根等。计算题：单调性、极值；凹凸性、拐点；最值。函数作图。1、罗尔中值定理2、拉格朗日中值定理有限增量公式.3、柯西中值定理推论4、洛必达法则定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.注意：洛必达法则的使用条件.5、泰勒中值定理

常用函数的麦克劳林公式6、导数的应用定理(1)函数单调性的判定法定义(2)函数的极值及其求法定理(必要条件)定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.定理(第一充分条件)定理(第二充分条件)求极值的步骤:步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;(4)曲线的凹凸与拐点定义定理1方法1:方法2:利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步(5)函数图形的描绘第三步第四步

确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;第五步1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心机动目录上页下页返回结束(6)弧微分曲率曲率圆

定义的连续性及导函数例1.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,机动目录上页下页返回结束单调减区间为

;极小值点为

;极大值点为

.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为

;

.在区间

上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间

上是凹弧;则函数

f(x)的图(2)

设函数的图形如图所示,机动目录上页下页返回结束例2.

证明在上单调增加.证:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,机动目录上页下页返回结束故当

x>0时,从而在上单调增.得例3.

设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.

证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.思考:

若题中改为其它不变时,如何设辅助函数?机动目录上页下页返回结束例4.

求数列的最大项.证:设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大点因此在处也取最大值.又因中的最大项.极大值机动目录上页下页返回结束列表判别:例5.

证明证:

设,则故时,单调增加,从而即思考:

证明时,如何设辅助函数更好?机动目录上页下页返回结束提示:例6.

设且在上存在,且单调递减,证明对一切有证:

设则所以当令得即所证不等式成立.机动目录上页下页返回结束例7.

证:

只要证机动目录上页下页返回结束利用一阶泰勒公式,得故原不等式成立.例8.

证明当x>0时,证:

令则法1

由在处的二阶泰勒公式,得故所证不等式成立.与1之间)机动目录上页下页返回结束法2列表判别:即机动目录上页下页返回结束法3利用极值第二判别法.故也是最小值,因此当时即机动目录上页下页返回结束练习题：1.设f(x)在[a,b]上有三阶导数，且证明至少存在一点，使得2.设在[0，1]上满足拉格朗日定理，则定理中的3.设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，证明至少存在一点使。4.设f(x)二阶可导，且，证明5.证明：时，6.求下列函数的单调区间与极值7.若点（1，2）是对应图形的拐点，则a=