非线性光学论文

原子与光场相互作用的半经典理论摘要光学双稳态和多稳态是量子光学和非线性光学中的一个十分重要的研究课题，由于其在光晶体管、光存储、光开关等方面的广泛应用，人们已经分别从实验上和理论上对其展开了大量的研究。特别是冷原子介质中的电磁感应透明(EIT)效应被广泛关注以来，人们对冷原子介质中光学双稳态和多稳态现象的半经典理论研究也随之增多。本论文主要是运用了半经典理论对四能级冷原子介质中的光学双稳态和多稳态现象进行了理论研究。阐述了两束激光与三能级冷原子介质相互作用的半经典理论。1.原子与光场相互作用的半经典理论原子与光场相互作用的半经典理论就是将原子看成量子化的(即考虑能级结构)，将光学看成经典场。本章我们将以三能级冷原子与两束激光的相互作用为例介绍原子——光场相互作用的半经典理论。1.1偶极近似下原子与光场的相互作用哈密顿量单原子与外场所组成的相互作用系统的哈密顿量可写成：H=丄[p-eA(r,t)]2+eU(r,t)+V(r) (1.1)2m其中e和m分别是电子的电荷和质量，p是电子的正则动量算符，A(r，t)、U(r,t)分别为外场的矢势和标势，V(r)是原子的束缚势，原子中心位于r0处。__ 一假定整个原子处在由矢势A(r0+r,t)描述的平面电磁波里，则采用电偶极近似，即k-r<1，矢势可以简化为：

A(r+r,t)=A(t)exp(ik-r+ )0沁A(t)exp(ik-rfo在辐射场库伦规范(U(r,t)=0,匕A=0)和偶极近似下，系统的薛定谔方程为:「 ie21「 ie21V--A(r,t)-+V(r)L力0」。屮(r,t)1.3)其中我们已经在系统哈密顿量中加入了原子核对电子的约束势V(r)，屮(r,t)为系统的波函数。为了简化式(1.3)我们定义了一个新的波函数屮(r,t)满足1.4)1.5)屮(r,t)二exp—A(肿-r©(r,t)1.4)1.5)TOC\o"1-5"\h\z°方 」将(1.4)带入式(1丁3)得：〜U©(r,t)=「H-er-E(r,t)(r,t)rl L0 0 」p2 一其中：H0=奇+(厂为系统的自由哈密顿量。我们利用公式E=-A则系统的哈密顿总量为：H=H+H=H-er-E(r,t) 一f (1.6)0I00其中h二-er-E(r,t)即为偶极近似下原子与光场的相互作用的哈密顿量。I 0 -―►1・2半经典理论体系下的系统(两束激光+三能级原子)哈密顿量如考虑如图2-1所示的理论模型，振幅为E、频率为①的强相关控制光场以拉比频率cc。厂卩32,E/(2#耦合能级和|3〉。同方向传播振幅为气、频率为笃的弱相关探测光场以拉比频率。广卩31，Ej(2力)耦合能级1和|3：：。所以光场的表达形式为：E=-E(z,t)7exp(-it)+—E(z,t)7exp(-iwt)+c.c. (1.7)2cc2pp其中为了方便■我们已经忽略了因子exp(ikz)。Ap“3—-®p和—32-Wc为原子|—o|3j和|2；：吕|3：的共振跃迁频率。

我们取H表象，则系统的自由哈密顿量可表示为：H=工E\n(n\ (1.8)0 0 n八n其中(n=1,2,3)为原子的量子化能量，|心为原子能态。原子与光场的相互作用哈密顿量为：H=-qr-EI1.9)=-括0|3；：：1|cos(①t)+0|3：：：：2|cos(①t)+h.c.)1.9)在薛定谔绘景中，旋波近似下系统总的哈密顿量为：H叫2X2|+彎|3｝〈3|-対宀|3冲|+Oe-iwct|3(2|+h.c.) (1.10)其中为了方便我们已经选基态1作为能量参考点。通过幺正变化H1=eiH0MH$e-叫皿我们可以写出相互作用下绘景下系统的哈密顿量(取九=1)：H=w|3］：31+(w—①)|2賀2| (1.11a)0 p' pc''1.11b)H严|3：；3+(w-w)|2；f2|-(0|3；：；：1|+0|3；：；2|+h.c.)1.11b)1.3探测波在介质中的传播规律光波作为地磁波在介质中传播无论是线性还是非线性现象都应遵守麦克斯韦方程。因此为了得到探测波的传播性质我们在研究问题的时必须考虑麦氏方程：V2E-『注屮空00Qt2 0Qt21.12)假定探测波可以被近似的看做单色平面波，且分为缓变的振幅项和快变的传播项，即：E=2E(z,t)7exp(ikz-iwt)+c.c.，将其表达式和极化强度表达式：P=2E0X(w)E(z,t)7exp(ikz-iwt)+c.c.带入(1.12)式，利用慢变振幅近似d2E(z,t)dz2dd2E(z,t)dz2dzd2E(z,t)dt2dE(z,t)Qt)可得:dd k(~+^-)E(z,t)=i®X®)E(z,t)ot gcz 2(1.13)其中X(«)为极化率，式(1.13)即为缓变振幅近似下探测场的传播方程。对于短脉冲在非线性介质中的传播，我们可以采用方程(1.13)来描述。仅仅当光通过介质所花的时间在T=Ln/c内(L为非线性介质长度)振幅变化不显著时，才可以忽略方程中的时间导数项。当我们考虑光波通过一长度为L的原子气体室时，上面方程式(1.13)的解为(z=0对应的光强为E0)E(L,t)二Eexp(ipL—aL) (114)v0g结合上式，我们可以定义文献中常出现的重要物理量，如：TOC\o"1-5"\h\zcl ①相移卩L=三《%(①)L= Z(①)L2 r 2c i1 ①损耗aL=rKX(e)L= X(®)L2 i 2c i时延T二亠(pL)=——-dO® vcg1.4半经典理论体系下系统演化的密度矩阵描述在研究系统的演化问题时，我们可以采用薛定谔方程的方法或密度矩阵描述，本节我们将介绍系统演化的密度矩阵描述。首先我们介绍密度算符的基本知识。1.4.1密度算符在量子力学中，量子系统的状态用希尔伯特空间中的态矢来描述。我们可以用态矢空间上的一个线性算符来表示一个状态(纯态或混合态)，这样的算符称为密度算符。密度算符方法室友冯-纽曼提出来的，具有很紧凑和简洁的数学形式，可统一地描写纯态和混合态。一个完全确定的量子态可以由一个单一的态矢|屮::描述，这样的态称为纯态。在物理上可通

过对一组完整力学量的一次完全测量来实现。每个纯态I屮:；(|屮：•讪1=1)对应一个矢态空间上的线性算符：1.16)p=Yp|屮：冲|二工p1.16)ii''i iiii式中p=屮；：；屮|是与纯态|屮：:相应的密度算符。如采用一个具体表象，例如F表象，Fi i i i表示一个体系的一组力学量完全集，其中本征矢为I处，fin，工|n(n\=1，以nn为基矢的表象称为f表象。则与量子态|屮⑴)相应的密度算符，可表示成如下矩阵形式:pmn(t)=：；n|p(t)|m；=：n|屮(t)；pmn(t)=：；n|p(t)|m；=：n|屮(t)；计(t)\m)=C(t)C*(t)1.17)称为密度矩阵，其对角元为:p(t)二C(t)|2=|〈|n|屮(t))2>0 (1.18)mn n 丨' ‘是I屮；:态下测量F得到Fn值的概率。由归一化条件，可得到密度矩阵的对角元之和为1,即:trp=Y|C(t)nn力学量G在|屮;:态下的平均值可表示为：fG；：=；¥|G|F；：=》pG=S(Gp)' ' ' mnmn mnmn n1.19)1.20)所以G=tr(pG)=tr(Gp)1.21)1.4．2密度矩阵的演化方程—刘维方程首先在薛定谔绘景中，量子力学描述系统所处在的矢态量将随时间演化且满足薛定谔方程，而密度矩阵也将随时间演化而满足刘维方程，它能够描述系统的固有动力学特性。对于纯态，即P(t)=|V(t)［训(t)|，若H是系统的哈密顿量，借助于态矢量满足的薛定谔方程可得zaT~二H|屮(t)；Op(t)评⑹卅⑹晳=讐'"(t)'可得zaT~二H|屮(t)；Op(t)评⑹卅⑹晳=讐'"(t)'屮讥"(^土=丄旧p(t)-p(t)H)~lh面对混合态，即p=Ep」=(t)”M(t)|，可得iOy=yOti(1.23)1‘方-=丄[h,p]1.24)s,ps(t)舟pS(t)=Ot方程：OAi(t)Ot=1[AI(t),H01.26)综上所述，在薛定谔绘景下，密度算符随时间的演化满足刘维方程：(1.25)在相互作用绘景中态矢量和力学量都将随时间演化，力学量的演化方程满足海森堡其中H为系统的自由哈密顿量且满足H二HS二HI，上表S,I分别表示薛定谔绘景和0000相互作用绘景。当然哈密顿算符也随时间演化，薛定谔绘景中我们将系统的哈密顿量写成自由部分和相互作用部分相加1.27)Hs二Hi+Vs1.27)0则通过幺正变化：我们可以得到相互作用的绘景中的密度算符，通过计算很容易我们可以得到相互作用绘景中的刘维方程：1.29)其中Vi（t）=eiH0"Vi（t）e-%”为相互作用绘景中的相互作用哈密顿量。值得注意的是在相互作用绘景中系统力学量算符和态矢量都随时间演化，所以在相互绘景中要确定系统随时间的演化特性，必须同时考虑刘维方程（1.19）和海森堡方程（1.26）。1.4.3系统的密度矩阵方程下面我们将在半经典理论框架下，用密度算符理论来讨论一个三能级原子与两束激光相互作用时的动力学行为，如图2-1所示。在相互作用绘景中系统随时间的演化通过刘维方程来给出：d_d_Stp=--[h,p]+y(3mI 31 13tlpm-mp-pm)31 33 331.30)+Y(2mpm-mp-p1.30)32 23 32 33 33其中m..二|i）〈j|（i,j二1~3）是原子跃迁算符（i幻）或布局算符（i=j），丫和Y分别IJ 31 32表示原子从态|3：到态1和|2-的自发衰减率。利用哈密顿量的表达式（1.11）和式（1.29），我们可以得到系统的密度矩阵方程组：p33=-(Y+Y)p+i。p-ph)i。p(-p)23(1.31a)31 32 33p1331cp=Yphi。(p-p)(1.31b)2232 33c32 23p=—Yphi。(p-p)(1.31c)1131 33 c 31 13p=-[(YhY)/2hiA]phi。phi。(p-p)(1.31d)•323132 c32p12c2233p=-[(YhY)/2hiA]phi。phi。(p-p)(1.31e)•313132 p31c21p 1133p=-i(A-A)phi。p-i。p(1.31f)•21pc21 c31p23其中为了方便我们已经假设0和0为实数。由于此原子系统为封闭系统，所以满足封闭cp条件p+p+P=1和P二P*通过半经典的计算，上面计算的密度矩阵元可以用来计1