上海交大版物理第八章答案

习题88-1.沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后-，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。6解：根据题意，对于A、B两点，A9=9-中而A9=Axn)=24m，u=—=12m/s入 T8-2.已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y=Acos(①t+9)，波速为u，求：平面波的波动式；若波沿x轴负向传播，波动式又如何？x解：(1)设平面波的波动式为y=Acos[o(t-—)+9]，则P点的振动式为：xy=Acos[o(t-r)+9]，与题设P点的振动式y=Acos(①t+9)比较，有：9=%+9，•.•平面波的波动式为：y=acos[o(t-二4)+9];0u u(2)若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：xy=Acos[o(t+—)+9]，则P点的振动式为：xy=Acos[o(t+~r)+9]，与题设P点的振动式y=Acos(ot+9)比较，有：9=_里4+9，•平面波的波动式为：y=Acos[o(t+二^)+9]。0u u8-3.一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为y=Acos(ti2vt+9，)试写出：(1)该平面简谐波的表达式;(2)B点的振动表达式(B点位于A点右方d处)。解：(1)仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：y=Acos[2nv(t+x)+9]，则A点的振动式：u0

-1、y=Acos[2nv(t+——)+中]题设A点的振动式y=Acos(2兀vt+9)比较，有：中=2"'+中,.,•该平面简谐波的表达式为：y=Acos[2nv(t+'+X)+们(2)B点的振动表达式可直接将坐标x=d-1，代入波动方程：y=Acos[2兀v(t+~+~ )+中]=Acos[2兀v(t+~)+中]t=t=L时的波形如图所示，且周期T38-4.已知一沿x正方向传播的平面余弦波，为2s。写出0点的振动表达式；写出该波的波动表达式；写出A点的振动表达式；写出A点离0点的距离。解：由图可知：A=0.1m，2兀 ， 2兀co= =丸，k= -T X0点的振动方程可写成:由图形可知：t解：由图可知：A=0.1m，2兀 ， 2兀co= =丸，k= -T X0点的振动方程可写成:由图形可知：t=Ls时:35兀，.••波动方程为：y=0.1cos(兀t-5兀x+9)y=0.1cos(兀t+9)y=0.05，有：0.05=0.1cos(—+9)0 3 0考虑至u此时一y^<0，.9=一，—(舍去)dt ° 3 3—那么：(1)0点的振动表达式：y=0.1cos(—t+—);—(2)波动方程为：y=0.1cos(—t-5—x+—);3(3)设A点的振动表达式为：y=0.1cos(—t+9)由图形可知：t=一s时：y=0，有：cos(—+9)=03A 3A考虑至U此时''a>0，.•.9=一~(或9=~)dt A6A6

「•A点的振动表达式：y=0.1cos(兀t一一)，或y=0.1cos(兀t+ );A 6A 6(4)将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：ny=0.1cos(兀t-5nx+—)，与(3)求得的A点的振动表达式比较，有:兀t一-=兀t一5兀x+—，所以：x=—=0.233m6 A3 A308-5.一平面简谐波以速度u=0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：原点的振动表达式；波动表达式；同一时刻相距1m的两点之间的位相差。解：这是一个振动图像!由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：y=5x10-3cos(①t+甲)。0dyO0(1)当t=0时，y =2.5x10-3，考虑到：>0，有：9=- ，Ot=0dtt=0 0 3当t=1时，y=0，考虑到U： O<0，有：nn 5nOt=1dt t=1-3=2， =6，5nn「•原点的振动表达式：y=5x10-3cos( 1-—);(2)沿x轴负方向传播，设波动表达式：y=5x10-3cos(°nt+kx-—)63十 ④ 5n而k==u61 24nv —0.8 255n，..y=5x10-3cos(624n nt+ x—);25 3(3)位相差：AxAo=2n入25=kAx=—n=3.27rad24。8-6.一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.0x10-3J/($.m)，频率为300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解：(1)已知波的平均强度为：I=9.0x10-3J/(s.m)，由I=而.u有：-I9.0x10-3w=—= =3x10-5J/m3

=2w=6x10-5J/m3;max(2)由W=w-V,.•.W=w.L兀d2X=w~兀d2~4 4v=3x10-5J/m3x”.(0.14m)2.1m=4.62x10-J48-7.一弹性波在媒质中传播的速度u=103m/s，振幅A=1.0x10-4m，频率v=103Hz。若该媒质的密度为800kg/m3,求：(1)该波的平均能流密度；(2)1分钟内垂直通过面积S=4.0x10-4m2的总能量。解：(1)由：I=~upA2④2，有：2I=2x103x800x(10-4)2(2nx103)2=1.58x105W/m2;(2)1分钟为60秒，通过面积S=4.0x10-4m2的总能量为：W=ISt=1.58x105x4x10-4x60=3.79x103J。8-8.S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为d=5X/4，S质点的振动比S超前n：2，设S的振动方程为y=Acos2生t，且媒质无2 1 1 10 T吸收，（1）写出S与S之间的合成波动方程；（2）分别写出S与S左、右侧的12x1212x合成波动方程。解：（1）如图，以s1为原点，有振动方程:2nTOC\o"1-5"\h\zy=Acos 1，2n 2n则波源S1在右侧产生的仃波方程为：y1=Acos（T-云X），由于S质点的振动比S超前n；2，...S的振动方程为y=Acos（竺t+~），2 1 2 20 T2设以S1为原点，波源S2在其左侧产生的行波方程为：2n 2ny2=Acos（~^t+~x^x+9），由于波源S的坐标为5X/4，代入可得振动方程:,,2n2n5X2nn、y=Acos（ 1+ +9），与y=Acos（ 1+—）比较，有：9=-2n。

TOC\o"1-5"\h\z2兀 2兀 2兀 2兀=Acos( 1+ x一2兀)=Acos( 1+ x)。T 人 T 人可见，在S1与S2之间的任一点x处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，2兀 1，为驻波;T(2)•・•波源S1在左侧产生的行波方程为:, ,2兀 2兀、+= 1，为驻波;T(2)•・•波源S1在左侧产生的行波方程为:, ,2兀 2兀、+=Acos（t+—x）叠加，有：y2兀 2兀y'=Acos( 1+x)，2兀 2兀、—t+x)T入y'+y=2Acos(2兀 2兀（3）设波源S2在其右侧产生的行波方程为:y'=Acos( 1一―^（3）设波源S2在其右侧产生的行波方程为:代入波源S2的坐标为5人/4，可得振动方程：y20'=Acos（千t-专.孕+9'），与y'=y=Acos( 1+—)比较，有：9'=3兀。. 2兀2兀 2兀2兀y'=Acos( 1-―^x+3兀)=Acos( 1一x+兀)。与y=Acos（t一x）叠加，有：y=y+y'=0。TOC\o"1-5"\h\zi t人 右12表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。1 兀…—,8-9.设S1与S2为两个相干波源，相距4波长，S1比S2的位相超前:。若两波在在S、S连线方向上的强度相同且不随距离变化，问S、S连线上在S外1 2 1 2 1S，入—=一—4S侧各点的合成波的强度如何？又在外侧各点的强度如何？解：（1）如图，S1、SS，入—=一—4SA9=9-9一~—（r一r）=-—-龙2 1入2 1 2入・.•两波反相，合成波强度为0;入(--)=0（2）如图，S1入(--)=0，。―2.A9=9-9一 （r，—r'）=一—一奖，。―2.2 1入2 1 2入・.•两波同相，合成波的振幅为2A，

合成波的强度为：I=(2A)2=4A2=4108-10.测定气体中声速的孔脱(Kundt)法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率v，量度相邻波节间的平均距离d，可求得管内气体中的声速u。试证：u=2vd。—_ 2 证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：Ax=-，再根据已知条件：量度2 … -相邻波节间的平均距离d，所以：d=—，那么：-=2d，2所以波速为：u=Xv=2vd8-11.图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为声源，D为声音探测器，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B距第一位置为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。求：声源发出的声波频率；解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距:相邻波节与波腹的间距：Ax=-，可得：人4=4Ax解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距:相邻波节与波腹的间距：Ax=-，可得：人4=4Ax=6.6cm。(1)声音的速度在空气中约为340m/s，所以:(2)VI=A2，Imin=(A.-A)2，Imax_ 3406.6x10-2)2，依题意有:=5151(Hz)。(A-A)2=100(A+A)2=900A=20A=10，那么％ 2A28-12.绳索上的波以波速v=25m/s传播，若绳的两端固定，相距2m，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为0.1m,/=0时绳上各点均经过平衡位置。试写出：驻波的表示式；形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。\ 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：Ax=-，如果绳的两端固定，那么2两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有- -四个半波长的距离，Ax=4x—=2，则：d=4x—=2-，波长：-=1m，又,波速u=25m/s，.•.④=2兀*=50兀(Hz)。又已知驻波振幅为0.1m，t=0- -.一 . n.- 时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为-，关于时间部分的余弦函2丸 兀、数应为cos(50兀t+一)，所以驻波方程为：y=0.1cos2兀xcos(50兀t+—);2 22nx(2)由合成波的形式为：y=y+y=2Acos—cos2nvt，可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：y=0.05cos(50nt一2nx)、y=0.05cos(50nt+2nx-n)。8-13.弦线上的驻波波动方程为：y=Acos(2生x+生)cos④t，设弦线的质量TOC\o"1-5"\h\z- 2线密度为p。分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置；- _分别计算0一一半个波段内的振动势能、动能和总能量。2解：(1)振动势能和动能总是为零的各点位置是cos(丛x+-)=0的地方。- 2即：x+ =(2k土1)，可得：x=* (k=0，±1，±2,±3)- 2 2 2(2)振动势能写成：dE=—k(dy)2=Lp®2A2cos2(—x+—)cos2④tdVP2 2 - 2

\ _...0一&半个波段内的振动势能：2E=J2—k(dy)2=J2—pA2①2cos2( x+—)cos2①tdxp02 02 人2入=—pA2④2cos2④t8而：dE=~dmv2=—pA2④2sin x+—)sin2④tdVK2 2 入2\ 0一一半个波段内的振动动能：2E=f2—dmv2=f2—pA2①2sin2( x+—)sin2①tdxK02 02 人2入=—pA2④2sin2④t8所以动能和势能之和为：E=E+E=—pA2®2。KP88-14.试计算：一波源振动的频率为2040Hz，以速度v向墙壁接近（如图所示），观察者在A点听得拍音的频率为 .△v=3Hz，求波源移动的速度七，设声速为340m/s。O。厂解：根据观察者不动，波源运动「即：,尹0，Ur=0,观察者认为接受到的波数变了：v=—」v0，S其中u=340，v=2043，v0=2040，分别代入，可得：u^=0.5m/s。8-15.光在水中的速率为2.25x108m/s（约等于真空中光速的3/4），在水中有一束来自加速器的运动电子发出辐射［称切