CA上传 理论力学 动量矩定理

会计学1CA上传理论力学动量矩定理例2：计算半径为R的均质等厚圆板对于中心轴的转动惯量。

解：例3：计算半径为R的均质圆柱体对于中心轴z的转动惯量。

不计厚度的平面刚体:

解：第2页/共31页第1页/共31页三、转动惯量的平行移轴定理质心C的坐标为（d、0、zC）

任一质量元dm的坐标为（x、y、z）

----转动惯量的平行移轴定理

物体对任一轴的转动惯量，等于物体对通过其质心并与该轴平行的轴的转动惯量加上物体的质量与两轴间距离的平方之乘积。使用条件JzC最小适用于任何形状zCzO第3页/共31页第2页/共31页例4

质量为m的均质细圆环与相同质量的均质圆盘固结，已知圆环半径是圆盘半径r的4倍。求：组合体对轴O的转动惯量。解：组合法设圆环对O轴的转动惯量为JO1

圆盘对O轴的转动惯量为JO2组合体对O轴的转动惯量JO：m(4r)2mr2/2P36

习题：2第4页/共31页第3页/共31页质点动量对O点的矩质点动量对z轴的矩:设质点A的动量为，动量矩的定义:

质点系的动量矩:§10-2

质点系的动量矩

abOzAOzAzAzxy类似力矩关系定理与空间力矩比较对固定点的矢径为r。第5页/共31页第4页/共31页质点系对固定点O的动量矩与对动点Q的动量矩之间的关系

其中Q为任一动点(平动动系)第6页/共31页第5页/共31页1、Q点与质点系的质心C点重合：

质点系对任一定点O的动量矩，等于质点系相对于质心C的动量矩与质点系的动量对O点之矩的矢量和

3、当Q为固定点与质心C重合：

2、当Q为固定点

：4、当

时：讨论：质点系相对于定点O的LO质点系相对运动相对于动点Q的LQ＇

第7页/共31页第6页/共31页2、定轴转动刚体对转轴z的动量矩

3、平面运动刚体对任一固定点O的动量矩

刚体的动量矩1、平行移动刚体对任一固定点O的动量矩

转轴过质心

相对运动相对于质心C的(质点)

平面运动=

平动+

转动刚体平动相对于定点O的第8页/共31页第7页/共31页例5：已知半径为r的均质轮，在半径为R的固定凹面上只滚不滑，轮重W，均质杆OC重P，杆长l，在图示瞬时杆OC的角速度为w。求：系统在该瞬时对O点的动量矩

。解：vC

=(

R

–

r

)w

wC=rvC组合法代数量

CPW第9页/共31页第8页/共31页§10-3

质点系动量矩定理一、质点系对固定点O的动量矩定理

质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和。

投影形式：

质点系的动量矩定理第10页/共31页第9页/共31页例6

已知：半径为r，滑轮重为G，将其视为圆环。A物重为P，B物重为Q，且P>Q。求：两重物的加速度及轮的角加速度。解：研究对象为：轮、物体A和B。分析受力分析运动ABO对O点(轴)应用动量矩定理QPGJO

=mGr2rw=

v

(系统)转向!代数式

圆环:

JO=mr2

P37

习题：1、2(外力)w第11页/共31页第10页/共31页二、质点系相对于质心C的动量矩定理

又：（1）（2）（1）=（2）质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系所有外力对质心之矩的矢量和。

投影形式：

第12页/共31页第11页/共31页三、质点系动量矩守恒定理

1、2、质点系动量矩守恒定理第13页/共31页第12页/共31页动量矩守恒定理实例冰上芭蕾1J11J1=

2J2

J1>

J2,1<

2,2J21J11J1=

2J2

J1>

J2,1<

2,地球变迁2J2第14页/共31页第13页/共31页例7:

旋转调速器在外伸刚性臂上悬挂两个重量P的小球,初始转动时角速度0。求：当悬挂小球与垂直线夹角为

时的角速度。解:角速度:初始转动时:夹角为

时:waaPPz动量矩守恒0第15页/共31页第14页/共31页例8：杆OA长l、重P，可绕过O点的水平轴转动，A端铰接一半径为R、重为Q的均质圆盘。初瞬时OA杆处于水平位置，系统静止。略去各处摩擦。求：OA杆转到任意位置（用

角表示）时的角速度

及角加速度a。解：由圆轮受力图：因此：

＝0Q整体对O点应用动量矩定理圆盘在运动过程中作平行移动JOwmvlv＝w

l＝0＝0＝常＇

＇

vw第16页/共31页第15页/共31页由上式解出求OA杆的角速度w分离变量

积分得

第17页/共31页第16页/共31页§10-4

刚体定轴转动微分方程

F2F1rivimiFi（1）已知刚体的转动规律，

（2）已知作用在刚体上的主动力矩，

解决两类问题：

或刚体定轴转动微分方程

wz求：作用在刚体上的主动力矩。求：刚体的转动规律。

第18页/共31页第17页/共31页例1：齿轮传动装置，开始时角速度分别为01、02，重分别为P1、P2。求：耦合后的1值。解:左轮:右轮:运动学关系:方程化简并相加:1R12R20201R1R2FNFFFN第19页/共31页第18页/共31页例2：均质圆柱半径为r、质量为m，置该圆柱于墙角，初时角速度0，由于摩擦阻力，使转动减速，摩擦因数

fs

。求：使圆柱停止转动所需的时间。解：应用刚体定轴转动的微分方程考虑质心运动定理

C补充方程

第20页/共31页第19页/共31页解得：代入（1）式得：积分未知量：由(2)(3)(4)(5)式P38

习题：3停止转动所需的时间：第21页/共31页第20页/共31页实验法测试转动惯量扭转振动法k已知：标准盘的J标，z简谐振动w=2pf

f

=1/T平衡位置附近周期性的往复运动fT=

2p/T

求测试盘

J。圆频率

或第22页/共31页第21页/共31页§10-5

刚体平面运动的微分方程Syzxy’z’x’SaCaC运动分解平面力系C:(主矢与主矩)运动与受力的关系:刚体平面运动的微分方程CCMCFR第23页/共31页第22页/共31页例3：均匀圆盘沿斜坡滚下，已知盘质量为m、半径

r

。

求：下滚时盘质心的加速度与摩擦力。解:其中:得:byxaaCbbbbbbM

滚阻力偶第24页/共31页第23页/共31页例4：均匀圆盘重量均为P、半径均为r。求：B

物体滚下

时质心的加速度与绳子张力。解:加速度:绳子张力:ABPPaBFFaBaA运动学:P38

习题：4P39

习题：1P40

习题：4aAr第25页/共31页第24页/共31页当瞬心离质心距离是常数，或瞬心的加速度恒指向质心时也可以选瞬心为动量矩的矩心。vCvBvAwABI第26页/共31页第25页/共31页例5：均质鼓轮放置粗糙的地面上，在半径为r

的轴柱上绕着

绳索，索的拉力为F1、F2。求：轮的角加速度、摩擦力。解:[O]:[x]:[或]运动学关系:得:RF2F1OIFNFa[I]:JI

＝

JO

+

mR2第27页/共31页第26页/共31页例6：一根筷子在光滑地面上，开始时手拿着如图示位置，然后松手。求：筷子此时的角加速度和地面的正压力。解:条件：1.aCx=0y:xyPFaaA2.t=0,w=0。aCaA[c]:[y]:A运动学关系:三个未知量第28页/共31页第27页/共31页例7：均质杆重为P，被绳索如图约束，突然剪断右侧绳索。

求：此时左侧绳索张力。解:条件:1.vA=02.运动学关系:n600ABOPaA600AB杆平面运动FA第29页/共31页第28页/共31页例8：4kg的均质板静止悬挂。求：B点的绳或弹簧被剪断的瞬时，质心的加速度。解：1.考虑第一