CH 大数定律和中心极限定理

会计学1CH大数定律和中心极限定理2本章要解决的问题

为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？大样本统计推断的理论基础是什么？大数定律中心极限定理第1页/共23页3§5.1切比雪夫不等式引理1

设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)均存在，则对于任意实数

>

0，有下述不等式成立或第2页/共23页4切比雪夫不等式示意图E(X)E(X)

+eE(X)

-eF(x)xD(X)/e2第3页/共23页5例1已知E(X)=100,D(X)=30，试估计随机变量X落在(70,130)内的概率。解:

P{70<X<130}=P{|X100|<30}由切比雪夫不等式可得0.967

契比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，事件{|X|<}或

{|X|≥}的概率的一种估计方法第4页/共23页6§5.2大数定律

概率论中用来阐明大量随机现象的平均结果具有稳定性的一系列定理统称为大数定律。

一般地，不仅随机事件的频率具有稳定性，很多一般的平均结果也都具有稳定性，即无论个别随机现象的结果以及它们在进行过程中的个别特性如何，大量随机现象的平均结果实际上与各个个别随机现象的特征无关，也几乎不再是随机的了。大数定律即是研究这些事实的理论依据。大量抛掷硬币正面出现频率第5页/共23页7贝努里（Bernoulli）大数定律定理1

设

nA

是n

重贝努里试验中事件A发生的次数,p

是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的>0，有或第6页/共23页8引入随机变量序列{Xk}由题设X1,X2,,Xn相互独立证明：故n+时，结论成立。由切比雪夫不等式第7页/共23页9贝努里（Bernoulli）大数定律的意义“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：在概率的统计定义中，事件A

发生的频率频率与

p

有较大偏差是小概率事件

因而在试验次数n

足够大时，可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率，即此类定律说明了大次数的重复试验所呈现的客观规律。同时，频率的这种稳定性也称为依概率稳定。第8页/共23页10切比雪夫（Chebyshev）大数定律定理2

设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变量，且分别具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk),（k=1,2,...)。若方差有界，即存在常数C，使得D(Xk)C，则对于任意的>0，恒有

切比雪夫大数定律是贝努里大数定律的推广，而贝努里大数定律是切比雪夫大数定律的一个特例。第9页/共23页11证明：对于随机变量序列{Xk}记根据切比雪夫不等式可知n1由方差和期望的性质可得第10页/共23页12均服从同一分布，并且有相同的数学期望和方差2，则对于任意的>0，恒有或是相互独立的随机变量，推论

设第11页/共23页13当

n

足够大时，算术平均值几乎是一常数。

具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望。算术均值数学期望近似代替可被切比雪夫（Chebyshev）大数定律的意义第12页/共23页14辛钦（ХИНЧИН）大数定律定理3设随机变量相互独立，均服从同一分布，且具有相同的数学期望

E(Xk)=,k=1,2,…,则对任意的

>0，均有第13页/共23页15§5.3中心极限定理

在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总影响。

观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个随机因素在总影响中所起的作用不大，那么这种量一般都服从或近似服从正态分布。

研究“在一定条件下，大量独立随机变量和的分布是以正态分布为极限分布”的定理统称为中心极限定理。

第14页/共23页16独立同分布的中心极限定理的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布函数，即定理4

设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且具有有限的数学期望和方差,

E(Xk)=,D(Xk)=2>0(k=1,2,…)则随机变量

第15页/共23页17林德伯格-列维中心极限定理示意图第16页/共23页18(1)

对于当n

足够大时，Yn

的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数，即近似近似服从表明：当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。称

Yn

为的标准化随机变量。第17页/共23页19例2某大型商场每天接待顾客10000人，设每位顾客的消费额(元)服从[200,2000]上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，试求该商场的销售额(元)在平均销售额上、下浮动不超过30000元的概率。解:设第k位顾客的消费额为Xk(k=1,2,…,10000)商场日销售额为X从而可得

第18页/共23页20由题设可知=100001100=11106第19页/共23页21P{11×10630000≤X≤11×106+30000}2(0.58)10.44由独立同分布中心极限定理可得第20页/共23页22德莫弗-拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）定理定理5

设随机变量Xn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…，则对任意实数x，均有Xn

~N(np,np(1-p))(近似)即n