D101二重积分概念12712

会计学1D101二重积分概念12712解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xOy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”第1页/共28页1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体第2页/共28页4)“取极限”令第3页/共28页2.平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xOy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.第4页/共28页2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量第5页/共28页两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:第6页/共28页二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,第7页/共28页引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划第8页/共28页二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D

上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.第9页/共28页三、二重积分的性质(k

为常数)为D的面积,则第10页/共28页特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有第11页/共28页7.(二重积分的中值定理)证:

由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此第12页/共28页例1.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上第13页/共28页例2.估计下列积分之值解:

D

的面积为由于积分性质5即:1.96I2D第14页/共28页例3.判断积分的正负号.解:

分积分域为则原式=猜想结果为负

但不好估计.舍去此项第15页/共28页8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有第16页/共28页四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作第17页/共28页同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记作第18页/共28页例4.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.解:

设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为第19页/共28页内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法第20页/共28页被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.

比较下列积分值的大小关系:第21页/共28页2.

设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有第22页/共28页3.计算解:第23页/共28页4.证明:其中D为解:

利用题中x,y

位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.第24页/共28页

P1352，4，5P1521(1),8第二节