2022年度河北省秦皇岛市禹铭艺术中学高三数学理月考试题含解析

2022年度河北省秦皇岛市禹铭艺术中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数有三个不同的零点，（其中），则的值为（

）A．

B．

C．-1

D．1参考答案：D2.若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于(

)A．﹣ B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我们可以计算出2+与的坐标，代入向量夹角公式即可得到答案．【解答】解：∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）则（2+）?（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故选C【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中利用公式，是利用向量求夹角的最常用的方法，一定要熟练掌握．3.设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A4.设，则a，b，c的大小关系是（

）A、a＞c＞bB、a＞b＞cC、c＞a＞bD、b＞c＞a参考答案：A5.下列命题：①恒成立；

②若；③命题“若a>b>0,且c<0，则”的逆否命题④若命题命题则命题是真命题。其中真命题有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④参考答案：A略6.若等差数列的公差，且成等比数列，则（

）A．2 B．

C．

D．参考答案：D略7.阅读右侧程序框图，输出的结果的值为（

）A．5

B．6

C．7

D．9参考答案：C8.设集合M＝{x|log2（x﹣1）＜0}，集合N＝{x|x≥﹣2）}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|x≥﹣2} C．{x|x＜2} D．{x|1＜x＜2}参考答案：D由题意得，∴．选D．

9.“φ＝”是“函数为偶函数的”（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：10.设集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为

．参考答案：12.若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为__________.

参考答案：13.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________，的值为________．参考答案：

14.一盒子中有编号为1至7的7个红球和编号为1至6的6个白球，现从中摸出5个球，并从左到右排成一列，使得这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则不同的排法有______种.（用数字作答）参考答案：288【分析】由题意先确定取球的4种方法，再按要求排列即可．【详解】要满足这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则从中摸出5个球可能是2个红色奇数号球和3个白色偶数号球；也可能是2个白色奇数号球和3个红色偶数号球；或2个红色偶数号球和3个白色奇数号球；也可能是2个白色偶数号球和3个红色奇数号球；当2个红色奇数号球和3个白色偶数号球按要求排列时，有种方法；当2个白色奇数号球和3个红色偶数号球按要求排列时，有种方法；当2个红色偶数号球和3个白色奇数号球按要求排列时，有种方法；当2个白色偶数号球和3个红色奇数号球按要求排列时，有种方法；综上共有72+36+36+144=288种排法.【点睛】本题考查排列组合的实际应用问题，考查了分析问题的逻辑思维能力，注意合理地进行分类．15.定义在R上的函数f(x)满足：①偶函数；②对任意的x1，x2，都有．请写出这样的一个函数f(x)________________．参考答案：答案不唯一，如y=ax2＋b(a＞0)16.若

.参考答案：17.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC；⑤平面PBC⊥平面PAC．其中正确命题的序号是

．参考答案：①②③⑤【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点?BC⊥平面PAC，继而可证BC⊥AF，AF⊥PC，从而易证AF⊥平面PBC，从而可对①②③④⑤作出判断．【解答】解：∵PA⊥圆O所在的平面α，BC?α，∴PA⊥BC，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，∴BC⊥AF，又AF⊥PC，PC∩BC=C，∴AF⊥平面PBC，PB?平面PBC，∴AF⊥PB，即①正确；又AE⊥PB，同理可证PB⊥平面AFE，EF?平面AFE，∴EF⊥PB，即②正确；由BC⊥平面PAC，AF?平面PAC知，BC⊥AF，即③正确；∵AF⊥平面PBC（前边已证），AE∩AF=A，∴AE不与平面PBC垂直，故④错误，∵AF⊥平面PBC，且AF?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC，即⑤正确．综上所述，正确结论的序号是①②③⑤．故答案为：①②③⑤三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由双曲线=1得焦点，得b=．又，a2=b2+c2，联立解得即可；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），与椭圆方程联立得到，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得=x1x2+y1y2，进而得到取值范围．解答： 解：（I）由双曲线=1得焦点，得b=．又，a2=b2+c2，联立解得a2=4，c=1．故椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴=，∴=x1x2+y1y2==，∵，∴，∴．故的取值范围为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到判别式△＞0即根与系数的关系、数量积运算等基础知识与基本技能，属于难题．19.(本小题满分14分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间（秒）的变化规律大致可用（为时间参数，的单位：）来描述，其中地面可作为轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为轴。（1）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；（2）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？参考答案：（1）当时，，

………………3分因时，，故，从而当，即当时，有最小值5，所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是；……7分（2）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，依题意得：，（）问题转化为在，的条件下，求的最大值。…………10分法一：，由和及得：

………………13分法二：∵，，=∴当，即，，由可解得：。

………………13分答：花坛的长为，宽为，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求。

………………14分20.已知数列{an}的前n项和Sn满足an=1﹣2Sn．（1）求证：数列{an}为等比数列；（2）设函数，求Tn=．参考答案：【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{an}的前n项和Sn满足an=1﹣2Sn．可得a1=1﹣2a1，解得a1．n≥2时，an﹣1=1﹣2Sn﹣1，可得an﹣an﹣1=﹣2an．即可证明．（2）an=．f（an）==n．可得bn，=2．即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{an}的前n项和Sn满足an=1﹣2Sn．∴a1=1﹣2a1，解得a1=．n≥2时，an﹣1=1﹣2Sn﹣1，可得an﹣an﹣1=﹣2an．∴．∴数列{an}为等比数列，公比为．（2）解：an=．f（an）==n．∴bn=1+2+…+n=．∴=2．∴Tn==2+…+=2=．【点评】本题考査了等比数列的通项公式、“裂项求和法”、对数的运算性质，、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知数列的前n项和（n为正整数）。（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。参考答案：解：（I）在中，令n=1，可得，即当时，，.

.

又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.(II)由（I）得，所以由①-②得

于是确定的大小关系等价于比较的大小由

可猜想当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设时所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时略22