广东省佛山市石门实验中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

广东省佛山市石门实验中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校周四下午第五、六两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课,丙、丁教师各自最多可以开设一节课.现要求第五、六两节课中每节课恰有两位教师开课(不必考虑教师所开课的班级和内容),则不同的开课方案共有（）种。A、20

B、19 C、16 D、15参考答案：B略2.设P是三角形ABC所在平面内一点，,则

（

）A、

B、C、

D、参考答案：B3.若曲线处的切线分别为的值为

A．—2

B．2

C．

D．—参考答案：A略4.点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为A．2

B.3

C.4

D.5参考答案：B抛物线的准线为，根据抛物线的对应可知，到该抛物线焦点的距离等于到该准线的距离，即，所以，即点的横坐标为3，选B.5.已知函数f（x）=，则f（3）的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：B【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可．【解答】解：由分段函数可知，f（3）=f（2）﹣f（1），而f（2）=f（1）﹣f（0），∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查分段函数的求值问题，利用分段函数的递推关系直接递推即可，考查学生的计算能力．6.参考答案：C7.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.对任意实数定义运算如下，则函数的值域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，则

②若，，，则

③若，，则

④若，，则

其中正确命题的序号是(

)

（A）①和②

（B）②和③

（C）③和④

（D）①和④参考答案：A略10.设是等差数列的前n项和，若，则数列的通项为

（

）

A．2n-3

B．2n-1

C．2n+1

D．2n+3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义2×2矩阵，则函数的图象在点(1,－1)处的切线方程是_______________.

参考答案：12.已知，，，则的最小值为

.参考答案：2

略13.若实数，满足，则的最大值为

。参考答案：6实际上就是求的最大值。

解法一：（求端点坐标）目标函数的最大值一般在平面区域的端点处取得。令，得A（2，3），；令，得B（2，－1），；令，得B（－2，3），。因此的最大值为6。

解法二：（画平面区域）利用画、移、求、答四字方针来解。实际上就是求的最大值。如图所示，显然过点A（2，3）时，。因此。14.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是

参考答案：15.一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的4，杯深20，在杯内放一玻璃球，当玻璃球的半径r最大取＿＿＿＿时，才能使玻璃球触及杯底．参考答案：1由题可知抛物线的方程为，设小球的截面圆心为,抛物线上点，点到圆心距离平方为在时取到最小值，则小球触及杯底,所以,得,即,故当玻璃球的半径最大取时，才能使玻璃球触及杯底.16.设为正实数，且，则的最小值是

.参考答案：【知识点】基本不等式．E6【答案解析】．

解析：∵log3x+log3y=2，∴log3xy=2，∴xy=9，∴则≥2=．则的最小值是，故答案为：．【思路点拨】利用基本不等式得≥2，由条件可得xy为定值，从而即可求得的最小值．17.在极坐标系中，点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离是

．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；两点间的距离公式．【专题】计算题．【分析】先将极坐标方程化为一般方程，然后再计算点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离．【解答】解：∵在极坐标系中，ρ=2cosθ，∴x=pcosθ，y=psinθ，消去p和θ得，∴（x﹣1）2+y2=1，∴圆心的直角坐标是（1，0），半径长为1．∴点在一般方程坐标为（1，），∴点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离是d==，故答案为．【点评】此题考查极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x4﹣4x3+ax2﹣1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减．（1）求a的值；（2）记g（x）=bx2﹣1，若方程f（x）=g（x）的解集恰有3个元素，求b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；压轴题；方程思想．【分析】（1）根据函数f（x）=x4﹣4x3+ax2﹣1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，知道x=1是f（x）的极值点，求导，令f′（1）=0，可得a的值；（2）把f（x）和g（x）代入方程f（x）=g（x），因式分解，转化为一元二次方程根的问题，求得b的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=4x3﹣12x2+2ax，因为f（x）在[0，1]上递增，在[1，2]上递减，所以x=1是f（x）的极值点，所以f′（1）=0，即4×13﹣12×12+2a×1=0．解得a=4，经检验满足题意，所以a=4．（2）由f（x）=g（x）可得x2（x2﹣4x+4﹣b）=0，由题意知此方程有三个不相等的实数根，此时x=0为方程的一实数根，则方程x2﹣4x+4﹣b=0应有两个不相等的非零实根，所以△＞0，且4﹣b≠0，即（﹣4）2﹣4（4﹣b）＞0且b≠4，解得b＞0且b≠4，所以所求b的取值范围是（0，4）∪（4，+∞）．【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值，以及一元二次方程根的存在性的判定，体现了数形结合的思想方法，属中档题．19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝BD＝2，AB＝2，E是棱PC上的一点．（1）若PA∥平面BDE，证明：PE＝EC；（2）在（1）的条件下，棱PB上是否存在点M，使直线DM与平面BDE所成角的大小为30°？若存在，求PM：MB的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）见解析；（2）在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为，此时.【分析】（1）连接交于，连接由平面的性质定理得是的中点，即可得出；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线与平面所成角的向量法，得出的值.【详解】（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以.（2）由已知条件可知，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，，.假设在棱上存在点，设，得，.记平面的法向量为，则即取，则，所以.要使直线与平面所成角的大小为，则，即，解得.所以在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为.此时.【点睛】本题考查了线与面平行的性质定理的应用，也考查了向量法解决线与面所成角的问题，属于中档题.20.（本小题满分13分）设椭圆的离心率，短轴的一个端点与两焦点构成的三角形的面积为，O为坐标原点.（I）求椭圆C的方程；（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值..参考答案：

21.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。（1）若，求证：平面平面；（2）点在线段上，，试确定的值，使平面；【知识点】平面与平面垂直的判定

直线与平面平行的性质及直线与直线平行的性质G4G5参考答案：（1）证明详见解析;（2）.解析：(1)连四边形菱形,

，正三角形,

为中点,

的中点,

又平面平面∴平面平面

(2)当时,平面

下面证明,若平面,连交于

由可得,,

平面,平面,平面平面,