原子的量子理论(修改)

大学物理电子教案大学物理教研组编写：李绍新文德华范素芹卢义刚赵纯近代物理原子的量子理论本章教学要求：

理解氢原子光谱的实验规律及玻尔的氢原子理论。了解波函数及其统计解释。了解一维坐标动量不确定关系。了解一维定态薛定谔方程。了解如何用驻波观点说明能量量子化．了解角动量量子化及空间量子化。了解施特恩－盖拉赫实验及微观粒子的自旋。了解描述原子中电子运动状态的四个量子数。了解泡利不相容原理和原子的电子壳层结构。本章重点：氢原子理论,波函数及其统计解释,能量量子化,角动量量子化及空间量子化。微观粒子的自旋。本章难点：薛定谔方程。波函数及其统计解释返回目录下一页上一页第二十章原子的量子理论§20.1氢原子光谱的实验规律§20.2玻尔的氢原子理论§20.3量子力学基本概念薛定谔方程§20.4一维无限深势阱中的粒子§20.5氢原子的量子力学处理§20.6原子的电子壳层结构返回总目录第二十章原子的量子理论

汤姆孙实验（1897年，卡文迪许实验室）：在阳极A和阴极K之间加上数千伏特的电压，管内残存气体中的离子高速轰击阴极K表面，使电子获得能量从表面逸出。电子动能：阴极射线管电子通过阳极后的速度满足+++++++++++++--------------电子速度选择器（电场向下，磁场向内）-e1897年，J.J.汤姆孙(J.J.Thomson)实验，电子荷质比（电子所带电量与质量之比）的测定电子通过狭缝中心的条件：从阴极中发出的电子经电场加速后速度为v电子束打在屏幕中央的条件：电子的荷质比：12年后，密立根在油滴实验中，成功地测出电子的电荷量，由此可以确定电子的质量：电子动能：§20.1氢原子光谱的实验规律一、原子结构模型均匀分布正电荷下一页上一页1897年，J.J.汤姆孙发现电子（带负电）,原子是电中性的，由于原子内有电子，原子内一定存在带正电的部分。下一页上一页卢瑟福为证明老师的原子模型，与盖-马做粒子散射实验。粒子是二次电离的氦原子核，以1/15倍光速运动。粒子是二次电离的氦原子。以1/15倍的光速高速运动均匀分布正电荷下一页上一页下一页上一页+在粒子散射实验中，有少数粒子能进入到离原子核很近的地方，受核的排斥力较大，故他们的散射角较大。卢瑟福（E.Rutherford）

J.J汤姆孙的研究生，他既有才能又刻苦工作，精力充沛又非常自信。1895年，卢瑟福成为卡文笛什实验室主任。下一页上一页1908年卢瑟福研究衰变获诺贝尔化学奖，尽管他高兴得到诺贝尔奖，但他不喜欢该奖是化学奖，而不是物理学奖。

我观察到许多由一种物质变为另一种物质的嬗变现象，但从来没有看到过象我这样变化得这么快，一夜之间由一个物理学家转变为化学家。

卢瑟福诺贝尔领奖演说卢瑟福的学生有14人获诺贝尔奖，其中之一玻尔的学生有7人获诺贝尔奖。二、原子光谱规律性下一页上一页氢原子光谱下一页上一页656.28486.13434.05410.17364.56nm1880年发表的氢原子光谱下一页上一页1889年，里德伯提出了一个普遍的方程，将上式中的“22”换成其它整数k的平方,还可得到其它谱线系.巴尔末公式1）稳定问题-经典理论得出原子是“短命”的经典理论：电子绕核运动是加速运动,必向外辐射能量，电子轨道半径越来越小，直到掉到原子核与正电荷中和，这个过程时间<10-12秒，因此不可能有稳定的原子存在。2）经典理论得出原子光谱是连续光谱经典理论：原子发光频率等于电子饶核运动频率，因此电磁波频率r-3/2，由于半径的连续变化，必导致产生连续光谱。三、经典理论解释氢原子光谱的困难下一页上一页§20.2玻尔的氢原子理论1912年N·Bohr当得知卢瑟福从α粒子散射实验提出了原子的有核模型（太阳系模型）后，深感敬佩，也理解该模型遇到的困难。于是来到卢瑟福的实验室求学，并参与α粒子散射实验工作，他坚信卢瑟福原子模型的正确性，认为要解决该原子模型的稳定问题，必须用量子概念对经典物理理论进行改造。终于于1913年发表了《论原子结构和分子结构》等三篇论文。为解决原子的稳定问题提出了三条假设，成功地解释了H原子光谱的规律。下一页上一页下一页上一页玻尔的三个假设下一页上一页玻尔量子化条件的驻波解释：德布罗意在1924年认为，电子以半径r作稳定的圆轨道运动，相当于电子波在圆周上形成稳定的驻波。这里，λ为德布罗意波长称为玻尔半径下一页上一页说明下一页上一页k=4k=3k=2k=1r=r1r=4r1r=9r1r=16r1赖曼系巴耳末系帕邢系里德伯常数的理论值：下一页上一页126534赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系En=E1/n2E5=E1/25E4=E1/16E3=E1/9=-1.51eVE2=E1/4=-3.39eVE1=-13.6eV氢原子能级图下一页上一页下一页上一页-0.85ev-13.6ev下一页上一页五、玻尔理论的成功与局限成功：解释了H光谱，尔后有人推广到类H原子（）也获得成功（只要将电量换成Ze）

（Z为原子序数）。他的定态跃迁的思想至今仍是正确的。并且它是导致新理论的跳板。1922年获诺贝尔奖。局限：1理论不严密，自相矛盾（把经典理论与非经典理论混杂起来）2只能解释H及类H原子的谱线波长，不能解释各谱线的相对强度及禁戒跃迁，也解释不了原子的精细结构。3仅对单电子原子成功，对两个电子的中性原子的处理糟糕透了。下一页上一页下一页上一页原因：它是半经典半量子理论的产物。还应用了经典物理的轨道和坐标的概念因此，玻尔理论称为旧量子论,它是经典理论与量子理论之间的一座桥梁

1924年德布罗意（DeBroglie）提出了波粒二象性，尔后由德国的薛定谔（Schr¨dinger）与海森伯（Heisenbeng）等建立了量子力学。o玻尔(N·Bohr)其人：它是卢瑟福的学生，在其影响下具有严谨的科学态度，勤奋好学，平易近人，后来很多的科学家都有纷纷来到他身边工作。当有人问他，为什么能吸引那么多科学家来到他身边工作时，他回答说：“因为我不怕在青年面前暴露自已的愚蠢”。这种坦率和实事求是的态度是使当时他领导的哥本哈根理论研究所永远充满活力，兴旺发达的原因。爱因斯坦评价说：“作为一个科学家和思想家，玻尔具有那么惊人的吸引力，在于他具有大胆和谦逊两种品德难得的结合”下一页上一页1947年丹麦女皇授予玻尔“宝象勋章”，玻尔亲自设计了以中国阴阳图（太极图）为图案的族徽，铭文是

contrariasuntcomplementa(互斥即互补)下一页上一页§20.3量子力学基本概念薛定谔方程问题下一页上一页要求：波函数的频率和波长必须遵从德布罗意的物质波的关系式下一页上一页猜想下一页上一页猜想下一页上一页余弦表达式（a)式是复数表达式(b)式的实部下一页上一页下一页上一页电子的单缝衍射：1）大量电子的一次性行为：U极大值极小值中间值较多电子到达较少电子到达介于二者之间波强度大，大小波强度小，波强介于二者之间粒子的观点波动的观点下一页上一页2）让粒子一个一个地通过单缝较长时间以后U极大值极小值中间值较多电子到达较少电子到达介于二者之间单个粒子出现的概率大粒子出现的概率介于二者之间粒子的观点波动的观点统一地看：粒子出现在某处的概率正比于单个粒子出现的概率小下一页上一页因积分发散，自由粒子的波函数不能用上述的方式归一。下一页上一页下一页上一页自由粒子的波函数上式对x求两次导数下一页上一页下一页上一页上式为不含时间因子的自由粒子的波函数满足的方程在不考虑相对论效应的条件下下一页上一页自由粒子的波函数满足的方程下一页上一页下一页上一页1926年，欧文·薛定谔在一次学术报告会上宣布：“我的朋友德拜要求有个波动方程，诺，我找到了一个。”鼎鼎大名的薛定谔方程就由此诞生了。当时的物理学界，纷纷议论薛定谔神秘的波函数ψ(psi)，年轻的讲师许克耳对大教授颇为不恭地编了一首打油诗：欧文用他的psi，计算起来真灵通；但psi真正代表什么，没人能够说的清。问题是薛定谔自己也说不清，两年以后，玻恩才给psi一个统计解释,ψ(psi)与粒子的关系才得以确定。§一维无限深势阱中的粒子设粒子的质量为m,其势能函数为:下一页上一页下一页上一页下一页上一页根据边界条件，有：也就是说，当粒子处于无限深势阱中时，只有当能量E满足上式，取离散值En时，相应的波函数Ψn(x)才满足边界条件，才是物理上可接受的。下一页上一页下一页上一页所以，本征能量（本征值）为：n=1,2,3,…..所以，本征能量（本征值）为：n=1,2,3,…..概率密度为：下一页上一页讨论下一页上一页状态本征能量本征函数概率密度下一页上一页从波函数图可以看出，势阱宽度为德布罗意半波长的整数倍。波函数图概率密度图下一页上一页下一页上一页下一页上一页下一页上一页一维方势垒势能函数如图ⅠⅡⅢ

粒子沿方向运动,当粒子可以通过势垒。

当，根据经典理论，粒子不可能出现在Ⅱ区和Ⅲ区，但实验证明粒子能以一定的概率通过势垒Ⅱ区到达Ⅲ区,这只能由量子力学得到解释。§一维方势垒隧道效应下一页上一页设三个区域的波函数分别为在各区域薛定谔方程分别为令

为实数粒子的能量下一页上一页ⅠⅡⅢ解为：下一页上一页从左方入射的粒子，在各区域内的波函数图隧道效应，各区域内的波函数图

可以证明，贯穿势垒的概率定义为在处透射波的强度与在x=0处入射波的强度之比：贯穿概率与势垒宽度与高度有关。势垒宽度a越宽，U0-E越大，透射波的强度越小。下一页上一页

粒子的总能量虽不足以超越势垒,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过势垒而进入的区域,所以人们形象地称之为隧道效应

.隧道效应的本质:

来源于微观粒子的波粒二相性.1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微镜(STM),可观测固体表面原子排列的状况.1986年宾尼希又研制了原子力显微镜.1986年，诺贝尔物理学奖的一半授予宾尼希和罗雷尔，另一半授予电子显微镜的发明者鲁斯卡。

应用

下一页上一页在聊斋志异中，崂山道士可以穿墙而过，也许是量子效应。扫描隧道显微镜(STM)原理：利用电子的隧道效应。金属表面存在势垒，由于隧道效应，电子有一定的概率出现在表面外，电子的概率密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减。将原子线度的极细的金属探针靠近样品(小于1nm)，针尖和样品作为两个电极，并在它们之间加上微小的电压Ub，由于它们的表面都有电子逸出，其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离极其敏感，其关系式为：下一页上一页扫描隧道显微镜(STM)其中，I是隧道电流，Φ是样品表面势垒的高度，s是针尖与样品表面之间的距离，A是常量。当针尖在被测表面上方恒定高度扫描时（等高模式），即使固体表面仅有原子尺度的起伏，隧道电流会有超出10倍的变化。将针尖装在压电陶瓷上，控制陶瓷上的电压以保持隧道电流恒定（稳流模式），针尖在扫描时随样品表面起伏上下移动，此时陶瓷上电压的变化就反映出样品表面的起伏。下一页上一页STM还可以用探针尖吸住一个孤立的原子，把它放到另一个位置，这是IBM公司在4K温度下用48个Fe原子制作的“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。

STM的横向分辨率已达，纵向分辨达,STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。下一页上一页1926年，欧文·薛定谔在一次学术报告会上宣布：“我的朋友德拜要求有个波动方程，诺，我找到了一个。”鼎鼎大名的薛定谔方程就由此诞生了。当时的物理学界，纷纷议论薛定谔神秘的波函数ψ(psi)，年轻的讲师许克耳对大教授颇为不恭地编了一首打油诗：欧文用他的psi（ψ），计算起来真灵通；但psi真正代表什么，没人能够说的清。长期以来，量子力学中的波函数ψ一直停留在理论的概念上，没有实际的观测。1993年，M.F.Crommie等人用扫瞄隧道显微镜所做的量子围栏工作，第一次看到了波函数。玻恩给psi一个统计解释,ψ(psi)与粒子的关系得以确定。1993年，扫瞄隧道显微镜做量子围栏，温度4K，超高真空，用电子束将0.005单层的铁原子蒸发到清洁的单晶Cu(111)

)表面,然后用扫描隧穿显微镜(STM)操纵这些铁原子,将它们排成一个由48个原子组成的圆圈.圆圈的平均半径为7.13nm,相邻铁原子之间的平均距离0.95nm。表面电子在铁原子上强烈反射，被禁锢在这个量子围栏，它们的波函数形成同心圆形驻波。

STM针尖与样品间的隧穿电流正比于样品该处的电子出现于此处的概率密度，用恒定电流模式就可以将电子的概率密度描绘出来，如图所示。下一页上一页§20.5氢原子的量子力学处理下一页上一页下一页上一页下一页上一页下一页上一页1.玻尔理论得出角动量最小值为h/2π，而量子力学l=0得出轨道角动量最小值为0，在此条件下，波函数仅与r有关，呈球对称分布。实验表明，量子力学的结果是正确的。2.量子力学得出，角量子数受主量子数的限制。如当主量子数n=1时，l只能取0；n=2时，l只能取0和1。3.玻尔理论中，第n能级

只有一个角动量值；但量子力学中，有n个不同的角动量值。下一页上一页下一页上一页下一页上一页下一页上一页下一页上一页下一页上一页下一页上一页下一页上一页下一页上一页电子具有自旋运动及具有自旋磁矩是电子的基本属性下一页上一页三、电子的空间概率密度分布其解：波函数是由三个量子数决定的，下面给出n、l、ml取不同的值的定态波函数下一页上一页=5.2910-11m玻尔半径……………….下一页上一页4）概率密度与电子云电子在体元中的概率：XYZ下一页上一页将上式对θ从0到π积分，对φ从0到2π进行积分，并注意到是归一化的，我们得到在r--r+dr的球面内电子出现的概率：XYZ4）概率密度与电子云称径向概率密度下面列出了一些径向概率密度：下一页上一页是电子出现在r处单位长度中的概率246810XYZ下面列出了一些径向概率密度：……………..下一页上一页立体角定义：d=dS/r2dSrd单位：球面度(sr)r下一页上一页闭合球面对球心所张的立体角：下面求一立体角内粒子出现的概率--粒子角分布下一页上一页将上式对r从0到∞积分,并注意到是归一化的，我们得到在立体角内电子出现的概率：XYZ是电子在单位立体角中的概率d内出现粒子的概率：下面列出几种不同量子数的角分布p态ml=0S态ml=-1ml=1ml=0下一页上一页ml=0角分布S态(l=0)p态(l=1)ml=-1ml=1ml=0径向分布有了这些径向分布与角分布，加上一点想象力，就可知电子在哪些地方出现的几率大，哪些地方出现的少。

在坐标图中，在电子出现概率大的地方多画一些“点”，概率小的地方少画一些“点”，并构成了一幅能说明电子概率空间分布图—“电子云”图下一页上一页ml=0XYZ246810下一页上一页1sml=02pml=±11sml=02pml=03dml=±2注意：1）“电子云”是概率分布，只知电子在何处出现的概率大小，要问电子在何处，答曰2）电子没有确定的轨道，所谓“轨道”大致是电子出现概率最大的地方。以n=1，的基态电子为