大连理工大学研究生入学考试量子力学试题及答案

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会计学1大连理工大学研究生入学考试量子力学试题及答案2二、证明题（30分）试证明交换算符是一个守恒量。1.设全同二粒子体系的Hamilton量为，波函数为，证明：

对任意波函数：故而由海森堡运动方程知：所以是一守恒量第1页/共13页32.设是一个幺正算符，求证是厄米算符。证明：而

所以

所以为厄米算符。第2页/共13页43.设为泡利矩阵，（1）求证：（2）试求：（1）将展开成幂级数证明：

所以第3页/共13页5（2）试求：由第4页/共13页6三、（20分）求证是角动量平方算符的本征值为的本征函数。

证明：由轮换对称性，证毕！第5页/共13页7四、（20分）设一量子体系处于用波函数所描述的量子态，试求（1）在该态下，的可能值和各个值出现的几率；（2）的平均值。

如有必要可利用；解：

此函数已经归一化。在该态下，的可能值为，对应的几率分别为和。第6页/共13页8五、（20分）已知一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值，求基态能量的一级修正值。

和本征函数分别为受到微扰设粒子，解：第7页/共13页9所以第8页/共13页10六、（30分）设（）为一维谐振子的能量本征函数，且已知，（1）求；

（2）设该谐振子在时处于基态，并开始受到微扰的作用，求经过很长时间（）以后，体系跃迁到的几率。解：（1）第9页/共13页11开始受到微扰的作用，求经过很长时间（）以后，体系跃迁到的几率。（2）设该谐振子在时处于基态，并

态的几率为（一级近似）（2）将作为微扰，在其作用下，体系从态跃迁到计算第10页/共13页1

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