插值计算与插值多项式

会计学1插值计算与插值多项式插值问题描述设已知某个函数关系在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数的一种简单的近似表达式,以便于计算点的函数值，或计算函数的一阶、二阶导数值。第1页/共35页y=f(x)y=p(x)简单的说，插值的目的就是根据给定的数据表，寻找一个解析形式的函数p(x)，近似代替f(x)第2页/共35页

6.1插值法的数学描述设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,是[a,b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知,即若存在一个f(x)的近似函数,满足则称为f(x)的一个插值函数,f(x)为被插函数,点xi为插值节点,R(x)=

称为插值余项,区间[a,b]称为插值区间,插值点在插值区间内的称为内插,否则称外插

第3页/共35页插值的几何意义第4页/共35页6.2拉格朗日（Lagrange）插值

为了构造满足插值条件

(i=0,1,2,…,n)的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,然后再推广到一般形式。6.2.1线性插值与抛物插值（1）线性插值线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数f(x)在两个互异的点，的值，,现要求用线性函数近似地代替f(x)。选择参数a和b,使。称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。第5页/共35页线性插值线性插值多项式

第6页/共35页由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为

它也可变形为

显然有：第7页/共35页记可以看出的线性组合得到，其系数分别为，称为节点,的线性插值基函数第8页/共35页线性插值基函数满足下述条件1001并且他们都是一次函数。注意他们的特点对下面的推广很重要于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合第9页/共35页例6.1已知,,求解:这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用线性插值

第10页/共35页例6.2已知y=f(x)的函数表

求线性插值多项式,

并计算x=1.5的值X13y12解:由线性插值多项式公式得第11页/共35页这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点的抛物线近似代替曲线

,如下图所示。因此也称之为抛物插值。

（2）

抛物插值

抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2，要构造次数不超过二次的多项式使满足二次插值条件：第12页/共35页抛物插值函数因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。第13页/共35页为了与下一节的Lagrange插值公式比较,仿线性插值,用基函数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题：求二次式,使其满足条件：

这个问题容易求解。由上式的后两个条件知:

是的两个零点。于是再由另一条件确定系数从而导出第14页/共35页P(x)的参数直接由插值条件决定，即满足下面的代数方程组：

该三元一次方程组的系数矩阵

的行列式是范德蒙行列式，当时，方程组的解唯一。第15页/共35页类似地可以构造出满足条件：的插值多项式

及满足条件：的插值多项式

这样构造出来的称为抛物插值的基函数取已知数据作为线性组合系数,将基函数线性组合可得容易看出,P(x)满足条件第16页/共35页例6.3已知x=1,4,9的平方根值,用抛物插值公式,求(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)y0+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)y1+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)y2p2(7)=x0=1,x1=4,x2=9y0=1,y1=2,y2=3(1–4)(1–9)(7–4)(7–9)*1+(4–1)(4–9)(7–1)(7–9)*2+(9–1)(9–4)(7–1)(7–4)*3=2.7p2(x)=第17页/共35页例6.4已知函数y=f(x)在节点上满足

xx0x1x2yy0y1y2

求二次多项式p(x)=a0+a1x+a2x2

使之满足p(xi)=yii=0,1,2解:用待定系数法,将各节点值依次代入所求多项式,得解上述方程,将求出的a0,a1,a2

代入p(x)=a0+a1x+a2x2

即得所求二次多项式

第18页/共35页我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式p2(x)

。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式pn(x)

，如下所示：已知n+1个节点处的函数值求一个n次插值函数满足6.2.2拉格朗日插值多项式第19页/共35页构造各个插值节点上的基函数满足如下条件100001000001第20页/共35页与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项式的插值问题,使其在各节点上满足

即:由条件()知,都是n次的零点,故可设第21页/共35页其中为待定常数。由条件,可求得

于是代入上式,得称为关于基点的n次插值基函数(i=0,1,…,n)

第22页/共35页以n+1个n次基本插值多项式为基础,就能直接写出满足插值条件的n次代数插值多项式。事实上，由于每个插值基函数都是n次值多项式,所以他们的线性组合是次数不超过n次的多项式

,称形如上式的插值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为

第23页/共35页例6.5求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式解:由Lagrange插值公式（给定的三个点在一条直线上）第24页/共35页例6.6已知f(x)的观测数据

x0124f(x)19233

构造Lagrange插值多项式解

四个点可构造三次Lagrange插值多项式:基函数为

第25页/共35页Lagrange插值多项式为

为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式可改写成

第26页/共35页

例6.7已知f(x)的观测数据

x1234f(x)0-5-63构造插值多项式

解:四个点可以构造三次插值多项式,将数据代入插值公式，有

这个例子说明p(x)的项数不超过n+1项，但可以有缺项。第27页/共35页x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=p(x)ab在插值区间a,b上用插值多项式p(x)近似代替f(x),除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。若记R(x)=f(x)-p(x)则R(x)就是用p(x)近似代替f(x)时的截断误差,或称插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。6.2.3插值多项式的误差

第28页/共35页定理设f(x)在a,

b有n+1阶导数，x0,x1,…,xn为a,b上n+1个互异的节点,p(x)为满足

p(xi)=f(xi)(i=1,2,…,n)的n次插值多项式，那么对于任何xa,b有插值余项其中a<<b

且依赖于x第29页/共35页＞0，使得||≤x∈(a,b)由于(x)一般无法确定，因此式R(x)只能用作余项估计。如果在区间(a,b)上有界，即存在常数

则有余项估计

第30页/共35页对于线性插值，其误差为对于抛物插值（二次插值），其误差为第31页/共35页例6.8已知=100,=121