上海海事大学附属中学2022年高三数学理模拟试题含解析

上海海事大学附属中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛，（注：1丈=10尺，1尺=10寸，1斛=1.62立方尺，圆周率取3），则圆柱底圆周长约为（）A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺参考答案：B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆柱的体积和高计算出圆柱的底面周长，从而求出圆周的底面周长．【解答】解：由题意得，圆柱形谷仓底面半径为r尺，谷仓高h=尺．于是谷仓的体积V==2000×1.62．解得r≈9．∴圆柱圆的周面周长为2πr≈54尺=5丈4尺．故选B．2.已知{an}是公差为2的等差数列，前5项和S5=25，若a2m=15，则m=（）A．4 B．6 C．7 D．8参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式求出首项，从而求出通项公式，由此利用a2m=15，能求出m的值．【解答】解：∵{an}是公差为2的等差数列，前5项和S5=25，∴==25，解得a1=1，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∵a2m=15，∴a2m=2（2m）﹣1=15，解得m=4．故选：A．3.已知,，为三条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．

B．∥

C．

D．∥参考答案：D4.已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把上各点横坐标伸长到原来的倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线B．把上各点横坐标伸长到原来的倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C.把向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线D．把向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线参考答案：B5.若复数z=（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数（i为虚数单位），则tan（θ﹣）的值为（）A．7 B． C．﹣7 D．﹣7或参考答案：C【考点】复数的基本概念；二倍角的正切．【分析】复数z=（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数，可得：cosθ﹣=0，sinθ﹣≠0，于是sinθ=﹣，再利用同角三角函数基本关系式、和差化积公式即可得出．【解答】解：∵复数z=（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数，∴cosθ﹣=0，sinθ﹣≠0，∴sinθ=﹣，∴tanθ=﹣．则tan（θ﹣）===﹣7．故选：C．6.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为()A.72＋6π B.72＋4πC.48＋6π D.48＋4π参考答案：A由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.故答案为：A.7.若复数，则实数的值为(

)A.1

B.－1

C.±2

D.－2参考答案：B8.

下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(

)A．

B．C．

D．

参考答案：D9.不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则的值为A.

B.1

C.2

D.3参考答案：B略10.已知函数满足,且,则不等式的解集为__________A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

参考答案：12.已知变量满足约束条件则的最小值为___________．参考答案：－213.在平行四边形ABCD中，，，，E为CD的中点，若F是线段BC上一动点，则的取值范围是________参考答案：分析：设，用表示出题中所涉及的向量，得出关于的函数，根据的范围，结合二次函数的性质求得结果.详解：根据题意，设，则，结合二次函数的性质，可知当时取得最小值，当时取得最大值，故答案是.点睛：该题是有关向量的数量积的范围问题，在解题的过程中，需要提炼题的条件，将其转化为已知向量的数量积的问题，之后应用公式，求得关于的函数关系，之后转化为二次函数在某个闭区间上的值域问题来求解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14.已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于________．参考答案：45°略15.实数x，y满足不等式组：，若z=x2+y2，则z的取值范围是．参考答案：[0，4]【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=x2+y2的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=x2+y2的几何意义为可行域内动点到原点距离的平方，∴当动点（x，y）为O（0，0）时，z有最小值为0；为A（0，2）时，z有最大值为4．∴z的取值范围是[0，4]．16.对于恒成立的取值____________

参考答案：略17.已知集,,则集合所表示图形的面积是 参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆()的离心率为，其焦点在圆上．(1)求椭圆的方程；(2)设、、是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使．(i)求证：直线与的斜率之积为定值；(ii)求．参考答案：解：(1)依题意，得

c=1．于是，a=，b=1．

………………2分所以所求椭圆的方程为．……………4分(2)(i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①，②．又设M(x，y)，因，故

…………7分因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意，得

．所以，为定值．………………10分(ii)，故．又，故．所以，OA2+OB2==3．

………14分略19.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式

恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：解：（I）的定义域是

．．．．．．．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．．．．2分由及

得；由及得，故函数的单调递增区间是；单调递减区间是

．．．．．．．．4分

（II）若对任意，，不等式恒成立，问题等价于，

．．．．．．．．．5分由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分当时，；当时，；当时，；

．．．．．．．．．．．．8分问题等价于

或

或

．．．．．．．．11分

解得

或

或

即，所以实数的取值范围是

．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.（1）.设函数，解不等式；（2）.已知，，，证明：.参考答案：（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用分类讨论去掉绝对值，求解不等式；（2）利用柯西不等式证明.【详解】（1）当时，无解；当时，，解得；当时，，得；综上可得；（2）因为由柯西不等式得，所以，所以，当且仅当时，等号成立；所以.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法和证明不等式，含有绝对值不等式常用零点分段讨论的方法进行.21.已知数列为等差数列，数列为等比数列且公比大于1，若，，且恰好是一各项均为正整数的等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列满足，求.参考答案：略22.（本题满分12分）本题共有2个小题，