等差数列的前n项和优质课比赛

会计学1等差数列的前n项和优质课比赛高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.第1页/共27页有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.老师问：高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景问题就是：计算1＋

2＋

3＋…＋

99＋100第2页/共27页高斯的算法计算：1＋

2＋

3＋…＋

99＋100高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，……每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？第3页/共27页若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层有很多支铅笔，老师说有n支。问：这个V形架上共放着多少支铅笔？创设情景问题就是：1＋

2＋

3＋…＋

(n-1)＋n若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形平行四边形第4页/共27页n＋

(n-1)＋

(n-2)＋…＋

2＋1倒序相加法那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？前n项和分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②第5页/共27页问题分析已知等差数列｛an

｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.如何才能将等式的右边化简？①②第6页/共27页由此得到等差数列的{an}前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成差由等数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。知三求二第7页/共27页公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.na1an第8页/共27页公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.第9页/共27页公式应用根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn

：（1）a1=5，an=95，n=10

（2）a1=100，d=－2，n=50练一练5002550第10页/共27页已知等差数列{an}．(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[思路探索]根据等差数列前n项和公式解方程．题型一

与等差数列前n项和有关的基本量的计算【例1】第11页/共27页a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．第12页/共27页在等差数列{an}中；(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.【变式1】第13页/共27页解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，【例2】2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？故，该市在未来10年内的总投入为答：从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.且a1=500,d=50,n=10.题型二利用等差数列求和公式解决实际问题第14页/共27页

【变式2】一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19.答：屋顶斜面共铺瓦片570块.于是，屋顶斜面共铺瓦片：第15页/共27页题型三

利用Sn求an已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.解

(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.(2)当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，【例3】第16页/共27页(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．第17页/共27页

已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an.解

a1＝S1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.【变式3】第18页/共27页【例4】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式可得所以题型四已知等差数列的某些项的和求出n项和第19页/共27页【例4】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？另解：

两式相减得第20页/共27页一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．[思路探索]解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．【变式4】第21页/共27页第22页/共27页故此数列的前110项之和为－110.法二数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.法三设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，第23页/共27页第24页/共27页

解决此类问题的方法较多，法一、