复数代数形式的加减运算及其几何意义

3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

运算是“数”的最主要的功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简单的复数运算——复数的加、减法．引入随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数实部虚部1.复数代数形式的加、减运算法则.（重点）2.复数代数形式的加、减运算律.（难点）3.复数代数形式的加、减运算的几何意义.复数的加法我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致;（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.1.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.（1）因为z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,

所以z1+z2=z2+z1

探究点1复数的加法满足交换律、结合律（2）因为(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,所以

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)所以，对任意z1，z2，z3

C,有z1+z2=z2+z1（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）(1)(4+5i)+(2+3i)(m+ni)+(6+7i)(2)计算点拔：复数的加法运算，只需把相同部看作一个字母，完全按照合并同类项方法进行。例1探究点2复数与复平面内的向量有一一对应关系我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？OZ1(a,b)Z2(c,d)Zxy设,分别与复数a+bi,c+di对应=（a,b），=(c,d)+=（a+c,b+d）=(a+c)+(b+d)i复数的加法可以按照向量的加法来进行xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则.复数加法运算的几何意义探究点3复数的减法

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有c+x=a,d+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+(b-d)i,即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.4.复数的减法(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i说明：（1）两个复数的差是一个确定的复数.（2）两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。例2

计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).解：

(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=（5-2-3）+（-6-1-4）i=-11i变式训练

计算(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i).解：原式=（1+2-4）+（-3+5+9）i=-1+11ixoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.探究点4.复数减法运算的几何意义|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离

例3

(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|变式训练：已知复数z对应点Ｚ,说明下列各式所表示的几何意义.点Ｚ到点(1,2)的距离点Ｚ到点(－1,－2)的距离A.一条直线B.两条直线C.圆D.其他C3.|z1|=|z2|平行四边形OABC是

.4.|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是

.菱形矩形D6.已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.(1)|z－1|(2)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0,