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第四节一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数

由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。两类问题:在收敛域内和函数求和展开一、泰勒(Taylor)级数

其中(

在

x

与x0

之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n

阶泰勒公式,该邻域内有:为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0

时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有定理2.若f(x)能展成x

的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.二、函数展开成幂级数

1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为0.骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开例1.将函数展开成x

的幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数例2.将展开成x

的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足类似可推出:(P220例3)例3解两边积分得—牛顿二项式展开式对应的二项展开式分别为

根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,复合等方法,求展开式.例如2.间接展开法例4.

将函数

展开成x

的幂级数.解:

因为把x

换成,得例5.将函数展开成x

的幂级数.解:从0到x

积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x

＝1

收敛,所以展开式对x

＝1也是成立的,于是收敛例6解再如：例7.将展成解:

的幂级数.例8将分别展开成x及x－1

的幂级数。①②例9.将展成x－1的幂级数.解:

例解思考与练习3.4.如何求的幂级数?解答3.解4.如何求的幂级数?提示:例解内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.当m=–

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