大一上-高数二课堂

二若x1是函数fx)

x3ax(xc

则a ;b ;c

f(x) x3ax(xc xc

所以，c由于x1是函数f(x) x3axb的可去间断点(x1)2 lim x3axb存在x (x1)x必有lim( axb)x x 1 ab ab1

lim x

ax18x(xx而lim x

a(x1)x(xxx x3a(x1) x3a(x1)x

a(x1)8)(x16(x3)(a(x1) x1

x3a(x1)8)(x(x1)(1616aa2(x x1

x3a(x1)8)(x xx3a(x1)8)(x

1616aa2(x

也存所以1616a0,即a1.所以b 即a1,b7,c 若k0证明直线ykxh与曲线ysinx证明：设f(x)kxhsin 则f(x)在(,)上连续取

hk

和x

2k则f(x)k(h2)hsin ＝h2hsin

2sin

f(x)k(2h)hsin ＝2hhsin

2sin

在x1x2上应用零值定f(0.也就是，直线ykxhysinx至少有一个交点 十二设函数f(x)在[0,6]上连续，且f(0) f(6),证明存在[0,3使得f(f(存在[0,4使得f(f(存在[0,5使得f(f((1)设Fxfxfx则F(0) f(0) f(3F(3) f(3)f(6 f(3)f(0若f(0)f(3)＝0若f(0)f(3)F(0)F(3)[f(0f(3)]2由零值定理，存在(0,3),使得F()0,即f() f( (2)设F(x) f(x)f(x2)则(2)设F(x) f(x)f(x2)F(2) f(2)f(4 F(4) f(4)f(6

F(0)F(2)F(4)若F(0),F(2),F(4)中有一个为零，结论 若F(0),F(2),F(4)中无一个为零，则至 另一个为负，不妨设F(0F(4)一个为正，一个为负，必有F(0)F(4)0故存在(0,4使得F(0,即f(f(综合以上讨论，知结论成立。 设f(x)是以T为周期的连续函数，对

任意的正数

fxLfx) 容易看出若方程f(xL)f(x)有一个根，就有无穷 个 由于f(x)是以T为周期的连续函则fx)在[0T] 的最大最小值 设在[T,0]上在a处取到最小 m在[0T]b处取到最大值M在[ab]上，FxfxLfx)连续，且F(a)f(aLf(a)0F(b)f(bL)f(b)若F(a)0或F(b)0中有一个成立，则结论已经成立；否则F(a)F(b0由零值定理，存在(ab)使得F(即为方程f(xL)f(x)的解。 例1. f 在x2处连续,且limf(x)x2x求f(2)解 f(2)limf(x)lim[(x2) f(x)]

(xf(2)limf(x)f xlimf(x)x2x f(x)

x例2

x

且连续函数x)满(0(00求f f(0)limf(x)f

(x)coslim x

lim(x)(0)cos1 x 1e例 f(x)

x0讨论fx)的连续性。x02 2 当x0时，f(x)

2x2ex1exf(0)x0

f(x)fx

1e2x22

(x2x f(x)

2x2e

1ex2

x x当x0时，fx)连续 lim

(x)

2x2ex1ex2elim(2e2e

x

1) x1ffx)在x0fx) 例4.

f(x)

x2en(x

ax en(x1)试确定常数ab使f(x处处可导,并求fx).解 f(x)

axb21(ab2

xxx2 xx1时 f(x)a;x1，f(x)2x.利用fx在x1f(10)f(10)ff(1)

ab11(ab2 a2 f(x)

axb21(ab1)2x2

xxxx1时,f(x)a x1时f(x) a2,b1, f(1)f(x)2

x2x2x判别

fx) 例4.x0时gx有定义且g(x)存在问怎样选择a,bc可使下述函数在x0处有二阶导数.ax2bxc xf(x)

g(x) x解由题设f(0)存在fx)在x0连续即f(00f(00f(0), c利用f(0) f(0)

g(x)

x

(0)x0

(ax2bxc)g(0)x

bf(x)c

ax2bxc xg(x) xb利用f(0) f(0)

x f(0)lim(2axb)b x0 a1g

x 二、导数（微分）的求

复合函数求导法 逐次求导归纳间接求导法;利 公式 例5.

yesinxsinexf(arctan1其中f(x)x dy sinexd(esinx)esinxd(sinexx f(arctan1)d(arctan1 esinxcosexd(exf(arctan1) d(1 1 2x2esinx(cosxsinexexcosex) f(arctan1)1x ydyd 练习五/（1）设f(x)=|x|g(x)，g(x)在x=0连续，f(x)在x=0点可导的充要条件是(A)g(x)在x0可导，且g(x) Bgx)在x0可导，且gx)不一定等于 (Cg(0),g(0)都存在，不一定相(D)g(0)f(0)

f(0x)f(0) |x|g(x)g(0) x

x0

f(0x)f(0)

|x|g(x)

一若函数f(x)可导,F(x) f(x)(1sinx则f(0)0是F(x)在x0点可导的 A).充要条件B).充分条件但非必要条件(C).必要条件但非充分条件D)既非充分条件.也非必要条件分析:F(0) limF(x)Fx0 xlimf(x)f(0)f(x)(sinx)f(0)fx0 x F(0)limF(x)F xlimf(x)f(0)f(x)sinxf(0)fx0 x Fx)在x0F(0)f(0)f(0)f(0)ff(0) (3函数g(x)可导,yg(x)和yf(x)的图形对称且已知f32,

g(2)

(x)g f2(3x3则(1) 3分析

QQf(3)1g(2)(反函数导数f(x) g(y'(x)g(2

f2(3x))

f2(3x) g( (3x))f(3x)f(3x)3'(x)

x

g(1f2(3))f(3)f(3)3

g(2)f(3)

g(2) 练xt(1t) 求曲线

在对t0处的切线 y1 t0时，对应x ydx1

d dteyy10

tt求导 y

dy

dy e

e1

tey1

dtt于是dy

t

e1 所以切线方程

y1e1

y1x 六求极坐六求极坐标1上对应于的点处切y2

x1解

化为直角坐标方程 则

1

y

cos

1sincos

sincos 切线方程 y22dx 2即xy 证明极坐标系下曲线e上任一点P处切线PT与该点处的极径OP夹定角.TOx证明设切线PT与OPTOx,则有 即tantan(xecosy sine化为直y sin

(esin cos 1 (ecos cos 1tantan(4 TOx则 tantan(TOxtantan1tantan() 1tan()4tan[()4tan4

即切PTOP夹定。。九九xya2a0xyx0)条坐标轴所围成的三角形面积为定2证明y2x2

求导

y2x22

Yy

(X曲线xya 在点(x,y)处切线方程为令X0得切线在y轴上的截距为

22Yy xx2令Y0得切x轴上的截距

X

则切线与两条坐标轴所围成的三角形SS |X||Y|21 x2y2(x)(y ) 2xya1x2x2

为定值 十 证明曲线L:x2y2a2(a0)上任一点处的切线在两条标轴上截距之和为定 证明x2y2a2两边x求导

y yx解 y 曲线在 yx

,

)处的切线方yy0 (xx

所以