第二节换元积分法

会计学1第二节换元积分法定理1设u=φ(x)在区间[a,b]上可导,g(u)在[α.β]上有原函数G(u),则不定积分存在,且证明:用复合函数的求导法则，验证第1页/共39页

第一换元积分法(凑元法)的关键是把f(x)dx凑成g(φ(x))φ’(x)dx如何凑?这是一个技巧性很强的工作，要求我们熟练掌握基本积分公式。在解题前需要一些三角函数的恒等变换,分子分母的有理化,分子加减某项等方法.但不同的方法得到积分的结果往往不相同,我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数.

“凑”的方法：通常把较复杂的函数看成g(φ(x))第2页/共39页例1例2的积分，对于形如当m,n中有一个为奇数时，总可以用这个方法处理.第3页/共39页例3例4例5第4页/共39页(1)关于自变量是线性形式,例如(2)被积函数可写成常见的凑元法有以下几种情况:的形式，例如第5页/共39页(3)被积函数可写成f(xn)xn-1

的形式,例如(4)被积函数可写成g(xn)x2n-1

的形式,例如(5)被积函数可写成f(sinx)cosx或f(cosx)sinx的形式,例如第6页/共39页(6)被积函数可写成(7)利用三角函数公式,常用的三角形式:①倍角公式②积化和差公式的形式,例如第7页/共39页此外，常用的三角公式还有sec2x=1+tg2

x等例如第8页/共39页第9页/共39页例6第10页/共39页例7例8第11页/共39页例9例10第12页/共39页例11例12例13第13页/共39页例14例15第14页/共39页例16第15页/共39页二、第二换元法

定理设x=ψ(t)是单调,可导的函数,并且ψ’(t)≠0,又设f(ψ(t))ψ’(t)具有原函数φ(t),则有换元公式成立，其中是x=ψ(t)的反函数.第16页/共39页证明:第17页/共39页公式成立是有条件的.1)等号右边的不定积分或原函数要存在,且容易积分.2)求出后要用反函数代回原变量.单调性是保证反函数的存在.常用的变量代换有下列四种类型：第18页/共39页

利用三角函数进行代换,可以使被积函数简单

当被积函数含有平方和或平方差的二次根式时,根据恰当的三角恒等式作三角代换.例如对1、三角代换第19页/共39页例1求解:第20页/共39页例2求解:第21页/共39页第22页/共39页例3求第23页/共39页把x>a及x<-a的结合起来,我们得到第24页/共39页从上面的例子可看出:可作代换x=asint化去根式;，如果被积函数含有，可作代换x=atant化去根式;如果被积函数含有如果被积函数含有，可作代换x=±asect化去根式;但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换.例如第25页/共39页

当被积函数是三角有理式时,作“万能”代换,将被积函数有理化.第26页/共39页例4求第27页/共39页还有一部分采用反三角函数代换，例如tx1第28页/共39页例5求2、根式代换目的是将无理数变成有理数,便于积分第29页/共39页例6求3、倒数代换第30页/共39页第31页/共39页，应用双曲代换例7求4、双曲代换当被积函数含有根号第32页/共39页时有类似的结果,综合得到第33页/共39页

下面的积分在今后的计算中常会遇到,我们可把它们作为积分公式处理.第34页/共39页例8求解: