2022-2023学年北师大版选择性必修第一册第3章4.3第2课时空间中的距离问题作业

第2课时空间中的距离问题必备知识基础练1.(2021北京丰台高二上学期期中)若平面a的一个法向量为l,l),ACa,B£a,则点A到平面a的距离为()TOC\o"1-5"\h\zA.lB.—C.—D.i6332.(2021山东师范大学附属高二10月月考)四棱锥P-ABCD^,^F=(2,-1,3),AD=(-2,1,0),万=(3,-1,4),则这个四棱锥的高为()A立B-q£D•5°5・53.在棱长为1的正方体A5C0-481CQ中,E为AQ的中点，则点G到直线CE的距离为。A.iB.在D.渔3333.如图，点C在圆锥夕。的底面圆O上48是直径,A8=8,NBAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为6()。，则点4到平面P8C的距离为()A.1V5B.2V6C.1V15D.V15.(多选题)已知直线/的方向向量n=(l,(),-1)&2,1,-3)为直线/上一点，若点P(・l,0,-2)为直线/外一点，则点P到直线/上任意一点Q的距离可能为0A.2B.V3C.V2D.1.如图,P为矩形ABCZ)所在平面外一点,PA_L平面ABCD若已知A8=3,AO=4,PA=1,则点。到直线8。的距离为..如图，直三棱柱A8C-A出G的侧棱A4产旧，在△A8C中,NAC8=90°工。=8C=1,则点办到平面4BC的距离为..如图，正方体ABCD-A\BxC\D\的棱长为1,求平面AiBD与平面BiCQi间的距离..(2021山东济宁鱼台第一高二上学期第一次月考汝I图，在四棱锥P-ABCD中,ACDHZAO,底面ABCD为菱形，边长为2,PC_LBRPA二PC,且NA3C=60°屏面直线P8与CO所成的角为60。.⑴求证:PO_L平面ABCD;(2)若£是线段0C的中点，求点E到直线BP的距离.关键能力提升练10.如图，已知正方形ABCD的边长为4,七厂分别是ABAD的中点,GC_L平面A3CR且GC=2,则点B到平面EFG的距离为0A国A.—103TOC\o"1-5"\h\zC.-D.111.(2021山东滨州博兴第三高二上学期第一次月考)若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=P8=PL1,则点P到平面ABC的距离是()C.立D・坦312.(2021山西怀仁高二上学期期中)如图,棱长为1的正方体ABCD-4BiCi。］,。是底面AiBiCiDi的中心，则点。到平面ABCiDi的距离是()13.(2021天津和平汇文高二上第一次质检)已知直线/的一个方向向量为若点为直线/外一点/(41,-2)为直线/上一点，则点尸到直线/的距离为.14.在长方体A8CD-48GU中,A8=2A4产AO=1,则点8到平面48G的距离为..如图，在梯形ABCD中,AO〃BC,NA8C尸4_L平面ABCD,KPA=a,23点尸在AZ)上，且CFLPC.⑴求点A到平面PCF的距离；(2)求直线AD到平而PBC的距离.学科素养创新练.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面氐面A8CD侧棱P4=PD=泥，底面ABCD为直角梯形，其中3。〃4。工3_1_4。/。=2八3=23。=2.问:线段4。上是否存在一点。，使得它到平面PCD的距离为??若存在，求出券的值;若不存在，说明理由.答案：B易知荏=(/,/,2),根据点到平面的距离公式可得点A到平面a的距离为粤=|-lxl4-(-l)x2+2xl|-lxl4-(-l)x2+2xlVl2+22+l2|-lxl4-(-l)x2+2xlVl|-lxl4-(-l)x2+2xlVl2+22+l2=渔.故选B.6n-AB=0,

nAD=0,2.A设平面ABCD的法向量为n-AB=0,

nAD=0,2x-y+3z=0,-2%+y=0,令产1,可得y=2,z=0,即n=(1,2,0),*n•4P1・・・8svn/P>=^=K尻，于是点P到平面ABCD的距离为|而||cos<n.而>|二渔，即四棱锥P-ABCD的高为更.故选55A..C以点A为原点所在直线分别为工轴、)，轴、z轴,建立空间直角坐标系，如图.则C(I/,0)6(I』,I),£(0弓」)，所以前二(彦I)启二(0。1),所以点Ci到直线CE的距2离信|西2.鬲噜=.=孚故选©..C.AB由题设条件可知，而二(-3,-1,1),•・nAP=]x(-3)+0x(-l)+(-l)xl=-4,,•点尸到直线/的距离为d二|^P|2--=VTT8=V3.Jllnll・.点尸到直线/上任意一点。的距离要大于等于次，故选AB.6T如图，以A为坐标原点,分别以A/MDAP所在直线为x轴、)，轴、z轴建立空间直角5坐标系，则。(0,0』),8(300),0(040),••丽=(3,0,-1),丽二(-3,4,0),••点P到直线BD的距离••点P到直线3。的距离为当..立2.解以点/)为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则0(0,0,0)A(1,0,1)方(1』,0)Q](0,0,1)取二(0』1),硒=(-l,0,-l)，4A=(-1,0,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则上亚=0,则[y-z=oIn&O=0,1-%-z=0.令z=I,得y=l,x=-l,.*.11=(-],1,1),・••点Di到平面A\BD的距离d二生3!=程=渔.\n\V33根据题意有平面AiBD,,囱。〃平面41£>,同理平面AiBD.BiCDPiB^Bi,・•・平面A]B£>〃平面••平面4BD与平面B\CD\间的距离等于点Di到平面A\BD的距离，,平面A8Q与平面8CG间的距离为巨39.(1)证明：四边形ABCD是菱形,・•・AC_LBD.VPC±BD,PCnAC=G・・8D_L平面APC./POu平面人PC,/.BD_LPO,・・PA=PC,O为AC的中点，・・・尸0_1_4。,又4。03〃二。，・・尸0_1_平面ABCD(2)解连接以。为原点,08,0C,00所在直线分别为x轴、)轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略),a：AB//CDy：.ZPBA为异面直线与C。所成角，：.ZPBA=60°.在菱形A8CO中力8=2,NABC=60°,・・OA=1。8=75,

设尸0=〃,则PA=y/a2+l,PB=Va2+3,在APBA中,由余弦定理得PA2=BA2+BP2-2BABPcosZPBA,即cr+[=4+a2+3-2x2xyJa2+3x解得a=>/6(负值舍去).•・8(75,0,0),P(0Q遥),E(0,|,0),••丽=(-V3,1,0),^P=(-V3,0,V6),・・西=祟丽|=3,2••点E到直线8户的距离d=I函2.鬻：=后三=|.10.B1LD以点P为原点,PA,P8,PC所在直线分别为工轴、)，轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1,0,0),8(0,1,0),。(0,0』),所以而=(-1,1,0),^4?=(-1,0,1),^4=(1,0,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),由[n.亚=0,得产[wAC=0,I。+z=0,令x=l,则)=z=l,所以平面ABC的一个法向量为n=(l』,l).所以点P所以点P到平面ABC的距离d=等苧选D.12.B如图，以点。为原点,D4QC,。。所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接则。(0,0,0),0(1』)Q(0,0,1Mid,0,1),・・西二(条扣).平面AODiASiOu平面4。。内，：.ABVA\D,又AOi_LAiO/3nAOi=A,・・.A]O_L平面ABCiOi,故平面ABC\D\的一个法向量为西二(1,0,1),

・••点。到平面ABC\D\的距离・••点。到平面ABC\D\的距离d=I西访I13.a/17VP(-1,1,-1M(4,1,-2),••瓦?=(5,0,・1),又m=(l,怎1),,Tr-?m-PA5+13..cos<m,Pi4>=—==■=—\m\\PA\2V26V26.,.sin<m,P7>=—,5L|^4|=V26,••点P到直线/的距离为I方|sin<m,瓦5>=V^x—=V17.14i15.解(1)由题意知ARABdO两两垂直，以A为原点,AB,AO,A尸所在直线分别为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则40,0O),B3,0,0),C3m,0),O(0,340),P(0,0m).设厂(0盟,0),则以"Q-aM-aQbCPQ-。,-。,。).VPC±CF,.*.CF1CP,：.CF•而=(-砂(-。)+(〃2-砂(-。)+()〃=/-。(电。)=(),解得加=2以,即F(0,2〃,0).设平面尸C尸的一个法向量为n=(xj,z),%=y,z=2x.TOC\o"1-5"\h\z•CF=-ax+ay=0,_%=y,z=2x._)即CP=-ax-ay+qz=0,取工=1,得n=(l,l,2).设点A到平面PC尸的距离为&由前二(4,4,0),,百.|4C-n|axl+axl+0x2V6何d=——=7==-CI.|n|V63(2)由于BP=(-4,0,4),8C=(0,a,0),AP=(0,0,a).设平面PBC的法向量为ni=3)jo,zo),；嚅：Z0=r="即琮：段取……D.设点A到平面PBC的距离为h,•・・AO〃8cApc平面P8C,・・・AO〃平面PBC,：.h为AD到平面PBC的距离,.|/Mila\[2fl==—=—।凡|V2216.解取AO的中点0,在〉PAD中：：PA=PD,：.POA.AD.又侧面PAD1.平面ABCD平面尸A。八平面ABCD=ADy・"0_1_平面A8CD建立如图所示的空间直角坐标系，易得4(0,-1,0),8(11,0),C(1,0,0),D(0,l,0),P(0,0J),则CP=(-1,0,1),CD=(-1,1,0).假设存在点。，使它到平面PCD的距离为*设