2022年新高考北京数学高考真题文档版（原卷）含答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。TOC\o"1-5"\h\z已知全集U={*-3vx<3},集合A=(x|-2<x<l|.则q,A=( )A.(-2,1]B.(-3,-2川[1,3)C.[-2,1)D.(—3,—2]U(l,3)若复数z满足iz=3-4i,则|z|=( )A.1B.5C.7D.25若直线2x+y-\=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴，则。=( )B-4「ID.一1已知函数= 则对任意实数X,有( )A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0c.f(-x)+f(x)=\D. =巳知函数/(x)=cos2x-sin2x,则( )A.上单调递减B.彻在(—洁上单调递增C.f(x)A.上单调递减B.彻在(—洁上单调递增C.f(x)在[°，；丿上单调递减上单调递增设{%}是公差不为0的无穷等差数列，则“{%}为递増数列”是“存在正整数N。，当nN。时,an>0M的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝帯”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，

为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与7•和IgP的关系，其中7表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（）A.当7=220.尸=1026时，二氧化碳处于液态B.当7=270,P=128时，二氧化碳处于气态C.A.当7=220.尸=1026时，二氧化碳处于液态B.当7=270,P=128时，二氧化碳处于气态C.当7=300.P=9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当7=360.P=729时，二氧化碳处于超临界状态若(2x-1)4=a4x4+ayx3+a2x2+atx+a0,则％+角+角=( )A.40B.41C.-40D.-41己知正三枝锥P-ABC的六条校长均为6,S是△ABC及其内部的点构成的集含.设集合7'={QeS|PQ《5},则（表示的区域的面积为（ ）A.B.A.B.7：C.2兀 D.3冗在MBC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P为Z^ABC所在平面内的动点，且PC=1,则以•毎的取值范围是（ ）A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。函数的定义域是 .x己知双曲线/+—=1的渐近线方程为y=±^x，则，”= .TOC\o"1-5"\h\zm 3若函数/（x）=Asinx->/3cosx的一个零点为，则人= ；/三=3 丿 设函数= 若丁（工）存在最小值，则0的一个取值为 （x-2）,x>a.

a的最大值为 .已知数列｛刃｝的各项均为正数，其前，，项和S”满足％0=9（〃=1,2,…）.给出下列四个结论：①｛%｝的第2项小于3； ②｛《,｝为等比数列：其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（本小题13分）在AABC中，sin2C=J^sinC.（I） 求ZC：（II） 若b=6,J1AABC的面积为6JJ,求zMHC的周长.（本小题14分）如图，在三棱柱ABC-A^C.中，侧面BCC占为正方形，平面BCC占丄平面,AB=BC=2,M,N分别为AC的中点.（I） 求证：MV〃平面BCC.B,:（II） 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线A8与平面用伽所成角的正弦值.条件①：ABLMNx条件②：BM=MN.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.（本小题13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48.9.42,9.40,9.35,9.30,9.25：乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；丙：9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)(本小题15分)已知椭圆E: =1(。>人>0)的一个顶点为4(0,1),焦距为2后.(I)求椭圆E的方程:(II)过点P(-2,l)作斜率为化的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线A8,AC分别与x轴交于点N,当\MN\=2时，求上的值.(本小题15分)己知函数/(x)=evln(l+x).求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；设g(x)=f(x),讨论函数g(对在[0,4-00)上的单调性；证明：对任意的sje(0,+co),有f(s+t)>/(5)+/(/).(本小题15分)己知Q:%,%，…，纬为有穷整数数列.给定正整数〃?，若对任意的ne(l,2,-••,/«),在。中存在％,%.],《.2,•••,《+/(«/20)，使得％+%+1+《.2+・・・+《+/=〃，则称。为〃7-连续可表数列.(I)判断。：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(II)若Q:%,%•••,《.为8-连续可表数列，求证：A的最小值为4；若Q:%,〃2,…，』为20-连续可表数列,且％+纬+•••+《v20,求证：k>7.2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.l.D2.B3.A4.C5.C6.C7.D8.B9.B10.D第二部分（非选择题共110分）二、 填空题共5小题，每小题5分，共25分.（F,0）D（0,l]TOC\o"1-5"\h\z-3①.I ②.-^2①.0（答案不唯一） ②•】©®®三、 解答题共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.\o"CurrentDocument"（1）y6（2）6+6右（1）取的中点为K，连接MK,NK,由三棱柱ABC-A占弓可得四边形为平行四边形，而=MA，BK=KA,则MK//BB,,而MK4平面CBBG,平面CBBG,故MK//平面CBBJ,而CN=NA,BK=KA,则NK//BC,同理可得*7/平面CBB.C,,而NKC\MK=K,NK,MKu平面MK7V,故平面MKN//平面CBBQ,而MNu平面故"V//平面CBB.C,,（2）因为侧面CBBC为正方形，故CB丄BBi,而CBu平面CBBC,平面CBBG丄平面ABB】A,平面CBBGc平面ABB、故C8丄平面ABB,片，因为NK〃BC,故MC丄平面ABBq,

因为A8i平面ABB.A..故NKHAB,若选①，则ABLMN,而NK丄AB,NKC\MN=N,故AB1.平而MVK,而MKu平面MNK,故AB±MK.所以AB丄BB],而CB丄B0,CBcAB=B,故HR丄平面ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则B（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,故前=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,斬=（0,1,2），设平面BNM的法向量为n=（x,y,z）,则・n-BN=0n•BM则・n-BN=0n•BM—0x+y=0y+2z=0设直线AB与平面8N材所成的角为0,则4=22^3~3若选②，因NKHBC,故MC丄平面,而KMu平面MKN,故NKLKM,而B】M=BK=1,NK=\,故B,M=NK,而B]B=MK=2,MB=MN,故厶BB】Mm^MKN,所以』BB\M=ZMKN=90°,故A.Bt丄BBi,而CB丄BB”CBcAB=B,故BBX1平面ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则8（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,故成=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,斬=（0,1,2）,设平面BNM的法向量为n=（x,），,z）,n-BN=0则， ,从而-n-BN=0则， ,从而-n・BM=0：八，取z=—l，则〃=(一2,2,-1),

y+2z=0设直线AB与平面切W所成的角为0,则sin°=cos(n, =—^―=—\/I2x33(3)丙(1)—+y2=147(2)k=-4(1)y=x(2)g(x)在［0,+。。)上单调递増.⑶解:原不等式等价于/(5+Z)-/(5)>/(0-/(0),令m(x)=f(x+t)-f(x),(x,r>0),即证m(x)>m(O)tm(x)=f(x+t)-/(x)=ex+/ln(l+x+r)-e'ln(l+x),m'(x)=ex+/ln(l+x+r)+ exln(l+x)一-—=g"+r)-g(x),\+x+t \+x由(2)知g(x)=f(x)=ex(ln(l+x)+-^-)在［0,_H时上単调递增，1IA・•・g(x+t)>g(x),/.fri(x)>0・・.巾3)在(0,用)上单调递増，又因为W>0,Afn(x)>m(0),所以命题得证.(1)是5-连续可表数列：不是6-连续可表数列.(2)若&V3,设为Q：gc,则至多a+b,b+c,a+b+c,a、b,c,6个数字，没有8个.矛盾:当S4时,数列。：1,4,1,2,满足《=1,%=2,a3+a4=3,%=4,at+a2=5,%+%+%=6,a2+a3+a4=l,at+a2+a3+aA=S,:.kmin=4.（3）。：％,知...血，若，=丿最多有化种，若*,最多有C；种，所以最多有g=岬种，若k<5,则乃,劣,・・・，6至多可表5（5+1）=]5个数，矛盾，2从而若k<7,则S6,a,b,c,d,e,f至多可表礬9=21个数，而a+b+c+d+e+f<20,所以其中有负的，从而a,b,c,d,e,f可表1~20及那个负数（恰21个），这表明a-f中仅一个负的，没有0,且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为,贝U所有数之和Z〃?+1+〃?+2+•••+〃?+5=4/〃+15,4m+15<19==1,.•.{m,c,d,e,/}={-123,4,5,6},再考虑排序,排序中不能有和相同，否则不足20个,vl=-l+2（仅一种方式），.•.一1与2相邻，若-1不在两端，则Z-1,2,形式， 若x=6,则5=6