内蒙古自治区赤峰市克什克腾旗巴彦查干苏木中学2023年高三数学理联考试题含解析

内蒙古自治区赤峰市克什克腾旗巴彦查干苏木中学2023年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员中位数分别是() A．、

B．、

C．、

D．、参考答案：A2.的值为

A. B. C. D.参考答案：C3.已知向量.若向量的夹角为，则实数 (A) (B) (C)0 (D)参考答案：B由题意得.

4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（）A．96里 B．48里 C．12里 D．6里参考答案：D【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1=192，∴=6．故选：D．5.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A原点O到直线的距离为，则，点C到直线的距离是圆的半径，由题意知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过三个顶点，则在直角中三角形中，圆C过原点O，即，圆C的轨迹为抛物线，O为焦点，为准线，所以，，所以选A。6.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A.

B.

C.

D.参考答案：A【知识点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．B4

解析：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得，可得，解得，∴双曲线﹣=1的渐近线方程为：y=±x．故选：A．【思路点拨】通过椭圆的离心率，得到ab的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．7.如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是（

）A．24

B．12

C．8

D．4参考答案：B因为由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个直三棱柱，其底面为俯视图，高为3，其体积等于长方体体积减去直三棱柱体积．长方体体积等于3×2×4=24，挖去的直三棱柱体积等于×3×2×4=12所求的体积为24-12=12，故选B8.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z＝()A．－i

B．iC．－1

D．1参考答案：A9.设函数是定义在R上周期为2的偶函数，当时，则（

）A． B． C． D．参考答案：B10.要得到一个奇函数，只需将的图象（

）

A．向右平移个单位

B．向右平移个单位

C．向左平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．参考答案：（0，1）【考点】：函数的零点．【专题】：数形结合法．【分析】：先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用，12.设3x﹣1，x，4x是等差数列{an}的前三项，则a4=．参考答案：【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质列式求得x，进一步求出a3和d，则a4可求．【解答】解：∵3x﹣1，x，4x是等差数列{an}的前三项，∴3x﹣1+4x=2x，解得：x=，∴，d=3x=，∴．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．13.函数在上是减函数，则实数a的取值范围是

参考答案：a≤-3略14.如图，在ABC中，点E在AB边上，点F在AC边上，且，BF与CE交于点M，设，则的值为______。参考答案：略15.令p(x)：ax2＋2x＋1>0，如果对?x∈R，p(x)是真命题，则a的取值范围是________．参考答案：略16.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的表面积_______参考答案：4π【分析】根据题中所给的条件，取中点O，可以得到，从而确定出球半径为1，利用球的表面积公式求得结果.【详解】取中点，由，知，∴球半径为1，表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有球的表面积公式，确定出球心位置是解题的关键.

17.（理）已知点，为坐标原点，点满足,则的最大值是__．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，且.（1）当，时，求b，c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围.参考答案：解：由题意得，.（1）当，时，，，解得或；（2），∵A为锐角，∴，∴，又由可得，∴.

19.（12分）（2014?重庆模拟）2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65）[65，70）[70，75）[75，80），[80，85）[85，90），得到如图的频率分布直方图．问：（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中速车在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．参考答案：考点： 离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．

专题： 概率与统计．分析： （1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．（3）从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，根据题意抽出的2辆车中速车在（65，70）的车辆数ξ可能为0、1、2，求出相应的概率，即可求得分布列和期望．解答： 解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，（2分）（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5

（4分）设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5

（6分）（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），（7分）车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）

（8分）∴ξ=0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，ξ的分布列为：ξ012P（11分）数学期望Eξ=0×+1×+2×=．（12分）点评： 解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和．此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视．20.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．（1）求证：PC∥平面EBD；（2）求二面角A﹣BE﹣D的正弦值的大小．参考答案：解：（1）连接AC，BD，交点为G．∵AD∥BC，∴△CBG∽△ADG，且CB=2AD．∴CG=2AG，在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．∴EG‖PC．∵EG在平面EBD内，∴PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，∴A（3，0，0，0），D（3，﹣3，0），B（0，0，0），E（2，1，0），∴，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，∵，∴，令x=1，得=（1，1，﹣2），设二面角A﹣BE﹣D的平面角是θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．∴二面角A﹣BE﹣D的正弦值sinθ==．略21.已知直线l：x+y=4与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点M[2，2]．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，动点Q满足QB⊥AB，连接AQ交椭圆于点P，求的值．参考答案：【考点】圆锥曲线与平面向量；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）直线方程与椭圆方程联立，利用判别式为0，椭圆经过当点，联立求出m，n即可得到椭圆方程．（2）设Q（4，y0），P（x1，y1），又A（﹣4，0），B（4，0），求出直线AQ的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及心理的数量积回家求解即可．【解答】解：（1）直线l：x+代入椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）可得：（n+2m）y2﹣16my+32m﹣1=0，有且只有一个公共点．△=162m2﹣4（n+2m）（32m﹣1）=0，并且：8m+4n=1，解得m=，n=．椭圆C的方程为．（2）设Q（4，y0），P（x1，y1），又A（﹣4，0），B（4，0），∴．直线AQ的方程为．∴．∴．===．22.

（12分）已知函数在处取得极值，曲线过原点和点.若曲线在点处的切线与直线的夹角为45°，且的倾斜角为钝角。（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若在区间上是增函数，求的取值范围.

参考答案：解