吉林省长春市市第二朝鲜族中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

吉林省长春市市第二朝鲜族中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△中，角的对边分别为，若，则的值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A2.已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，） B．[，] C．（0，） D．[，e]参考答案：B【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．3.已知是圆：上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（

）

A.-1

B.0

C.

D.参考答案：c略4.已知（其中为正数），若，则的最小值是

A．2

B．

C．

D．8参考答案：C5.若，则的值为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：B略6.．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()参考答案：D略7.执行如图所示的程序框图，则输出的s值为（[x]表示不超过×的最大整数）(

)(A)4

(B)5

(C)7

(D)9参考答案：C8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为原点，若，则双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数关于轴对称，则的一个可能取值为（

）A．

B．

C．0

D．参考答案：B考点：y=Asin（ωx+φ）的图象变换10.设x，y满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则的最大值为

A．1

B．

C．

D．参考答案：D由得，可知斜率为，作出可行域如图，由图象可知当直线经过点D时，直线的截距最小，此时最小为2.由得，即，代入直线得，又，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则=

参考答案：12.点A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为．参考答案：【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的半径为r，因为球的表面积为，所以4πr2=所以r=，四面体ABCD的体积的最大值，底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+=2．四面体ABCD体积的最大值为×S△ABC×h==，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．13.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，则。参考答案：略14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

．参考答案：16；15.已知点A(－2,0),B(0,2),若点M是圆x2+y2－2x+2y=0上的动点,则△ABM面积的最小值为

.参考答案：2本题考查直线与圆位置关系.将圆化简成标准方程圆心,半径因为,所以要求面积最小值,即要使圆上的动点到直线的距离最小而圆心到直线的距离为所以所以的最小值为16.用数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位上的数字之和为偶数的四位数共有

个（用数字作答）参考答案：324

17.已知全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，若，则集合的取法共有

种.参考答案：31略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（﹣1，），椭圆C的右焦点为A，点B的坐标为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知纵坐标不同的两点P，Q为椭圆C上的两个点，且B、P、Q三点共线，线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且过点（﹣1，），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）依题意直线PQ过点（，0），且斜率不为0，设其方程为x=my+，联立，得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线AR的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（﹣1，），∴，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）依题意直线PQ过点（，0），且斜率不为0，故可设其方程为x=my+，联立，消去x，得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），直线AR的斜率为k，故，，∴，∴k=，当m=0时，k=0，当m≠0时，k=，故|4m+|=4|m|+，∴0＜≤，∴0＜|k|，∴﹣，且k≠0，综上所述，直线AR的斜率的取值范围是[﹣]．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线斜率的取值范围的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．19.（本小题满分12分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．参考答案：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段的学生人数为（人），参加社区服务在时间段的学生人数为（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为（人）．（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段的学生有4人，记为；参加社区服务在时间段的学生有2人，记为．

从这6人中任意选取2人有共15种情况．

事件包括共7种情况．

所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆()的离心率为，其焦点在圆上．(1)求椭圆的方程；(2)设、、是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使．(i)求证：直线与的斜率之积为定值；(ii)求．参考答案：解：(1)依题意，得

c=1．于是，a=，b=1．

………………2分所以所求椭圆的方程为．……………4分(2)(i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①，②．又设M(x，y)，因，故

…………7分因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意，得

．所以，为定值．………………10分(ii)，故．又，故．所以，OA2+OB2==3．

………14分略21.（本小题满分13分）已知函数f(x)=alnx+bx,且f(1)=-1，f′(1)=0，⑴求f(x)；⑵求f(x)的最大值；⑶若x>0,y>0,证明：lnx+lny≤.参考答案：本题主要考查函数、导数的基本知识、函数性质的处理以及不等式的综合问题，同时考查考生用函数放缩的方法证明不等式的能力．解：⑴由b=f(1)=-1,f′(1)=a+b=0,∴a=1,∴f(x)=lnx-x为所求；……………⑵∵x>0,f′(x)=-1=,x0<x<1x=1x>1f′(x)+0-f(x)↗极大值↘

∴f(x)在x=1处取得极大值-1，即所求最大值为-1；……………⑶由⑵得lnx≤x-1恒成立，∴lnx+l