函数的应用寒假作业-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的应用【知识梳理】1．函数的零点：对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：3．函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条__________的曲线，且有__________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．4．二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且__________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间__________，使所得区间的两个端点____________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．5．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．6．几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)一、单选题1．(★)函数f(x)＝eq\f(1,x)－lnx＋2的零点所在的大致区间为()A．(1，e)B．(e，e2)C．(e2，e3)D．(e3，e4)2．(★)已知一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，则m的值为()A．－4B．－5C．－6D．－73．(★)函数f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，f(1.438)＝0.165，f(1.4065)＝－0.052.那么方程的一个近似解(精确度为0.1)为()A．1.5B．1.25C．1.41D．1.444．(★★)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.6天5.(★★)已知定义域为R的偶函数满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝e1－x－1，则方程f(x)＝eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1)))在区间[－3，5]上所有解的和为()A．8B．7C．6D．5二、多选题6．(★★)某同学在研究函数f(x)＝eq\f(x2,|x|＋1)时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是()A．函数f(x)的定义域是RB．函数f(x)的值域为[0，＋∞)C．函数f(x)在R上单调递增D．方程f(x)＝2有实根7．(★★★)已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga\f(1,x)，x>0，,\f(1,ax)，x≤0))(a>1)，g(x)＝[f(x)]2－mf(x)，则下列结论正确的是()A．函数f(x)有唯一零点B．存在实数m使得函数g(x)有三个以上不同的零点C．当m∈[1，＋∞)时，函数g(x)恰有三个不同的零点D．当m∈(－∞，0)∪(0，1)时，函数g(x)恰两个不同的零点三、填空题8．(★★)关于x的方程x2＋(m－4)x＋10－2m＝0有两个不相等的实根，且两个根均大于3，则实数m的取值范围为______．9．(★★)已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k<1)，则a，b，c从小到大的关系是________．10．(★★★)2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式v＝v0·lneq\f(M,m)，可以计算理想状态下火箭的最大速度v(单位：m/s)，其中v0(单位：m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，eq\f(M,m)应称为总质比．已知A型火箭喷流相对速度为800m/s，根据以上信息：(1)当总质比为50时，A型火箭的最大速度为__________m/s；(2)若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的eq\f(1,5)，若要使火箭的最大速度至少增加800m/s，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为__________．(所有结果保留整数，参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609，e≈2.718)四、解答题11．(★★)已知函数f(x)＝log2x－log2(4－x)，g(x)＝log2(x＋a)．(1)求f(x)的定义域，并证明f(x)的图象关于点(2，0)对称；(2)若关于x的方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．12．(★★)中国国际进口博览会在上海举行．本届进博会有4000多项新产品、新技术、新服务．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2023年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且R＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x2＋ax，0≤x<40，,\f(901x2－9450x＋10000,x)，x≥40.))经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．(1)求2023年该企业年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式；(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润＝销售额－成本．13．(★★)设f(x)＝eq\f(2－x＋a,1＋x)(a为实常数)，y＝g(x)与y＝－e－x的图象关于原点对称．(1)若函数y＝f[g(x)]为奇函数，求a的取值；(2)当a＝0时，若关于x的方程f[g(x)]＝eq\f(g（x）,m)有两个不等实根，求实数m的取值范围(3)当|a|<1时，求方程f(x)＝g(x)的实数根个数，并加以证明．答案【知识梳理】1．f(x)＝02．x轴f(x)＝03．连续不断f(a)f(b)<0f(c)＝04．f(a)·f(b)<0一分为二逐步逼近零点一、单选题1．C【解析】f(x)＝eq\f(1,x)－lnx＋2在(0，＋∞)连续不断，且单调递减，f(1)＝3>0，f(e)＝eq\f(1,e)＋1>0，f(e2)＝eq\f(1,e2)>0，f(e3)＝eq\f(1,e3)－1<0，f(e4)＝eq\f(1,e4)－2<0，所以零点位于(e2，e3)，故选C.2．A【解析】因为一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，令f(x)＝x2＋mx＋3，则由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）>0，,f（2）<0,f（4）>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3>0，,7＋2m<0，,19＋4m>0，))解得－eq\f(19,4)<m<－eq\f(7,2)，又m∈Z，可得m＝－4.故选A.3．C【解析】由所给数据可知，函数f(x)在区间(1，1.5)内有一个根，因为f(1.5)＝0.625>0，f(1.25)＝－0.984<0，所以根在(1.25，1.5)内，因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1.5－1.25))＝0.25>0.1，所以不满足精确度，继续取区间中点1.375，因为f(1.375)＝－0.260<0，f(1.5)＝0.625>0，所以根在区间(1.375，1.5)，因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1.5－1.375))＝0.125>0.1，所以不满足精确度，继续取区间中点1.438，因为f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，所以根在区间(1.375，1.438)内，因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1.438－1.375))＝0.063<0.1满足精确度，因为f(1.4065)＝－0.052<0，所以根在(1.4065，1.438)内，所以方程的一个近似解为1.41，故选C.4．D【解析】把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1＋rT，可得r＝0.38，∴I(t)＝e0.38t，当t＝0时，I(0)＝1，则e0.38t＝4，两边取对数得0.38t＝2ln2，解得t＝eq\f(2ln2,0.38)≈3.6.故选D.5．A【解析】因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又函数f(x)为偶函数，所以f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是周期为2的函数，又g(x)＝eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1)))的图象也关于直线x＝1对称，作出函数f(x)与g(x)在区间[－3，5]上的图象，如图所示．由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[－3，5]上有8个交点，且关于直线x＝1对称，所以方程f(x)＝eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1)))在区间[－3，5]上所有解的和为4×2×1＝8，故选A.二、多选题6．ABD【解析】由x2≥0且|x|＋1≥1知，定义域x∈R，f(－x)＝eq\f(（－x）2,|－x|＋1)＝eq\f(x2,|x|＋1)＝f(x)，即f(x)为偶函数，当x≥0时f(x)＝eq\f(x2,x＋1)，令x2>x1≥0，则f(x2)－f(x1)＝eq\f(xeq\o\al(2,2),x2＋1)－eq\f(xeq\o\al(2,1),x1＋1)＝eq\f(（x1x2＋x2＋x1）（x2－x1）,（x1＋1）（x2＋1）)>0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又∵f(0)＝0，f(x)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2，当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于＋∞，∴函数f(x)的值域为[0，＋∞)．由偶函数的对称性知f(x)在(－∞，0]上递减，根据对称性其值域为[0，＋∞)，综上，f(x)在R上的值域为[0，＋∞)，故A，B正确，C错误；由上分析知f(x)与y＝2有交点，即f(x)＝2有实根，D正确．故选ABD.7．ACD【解析】作出函数y＝f(x)的大致图象，如图，当x>0时，f(x)单调递减，且f(1)＝0，f(x)只有一个零点；当x≤0时，f(x)>0，f(x)没有零点，所以函数f(x)有唯一零点，故A正确；由g(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝m，其中f(x)＝0有唯一实数根，而f(x)＝m实数根的个数即函数y＝f(x)与y＝m图象交点的个数，由图可知，函数y＝f(x)与y＝m图象至多有两个交点，所以不存在m使得g(x)有三个以上零点，故B错误；当m∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)与y＝m图象有两个交点，所以函数g(x)恰有三个不同的零点，故C正确；当m∈(－∞，0)∪(0，1)时，函数y＝f(x)与y＝m图象有一个交点，所以函数g(x)恰两个不同的零点，故D正确．故选ACD.三、填空题8．－7<m<－2eq\r(6)【解析】eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（m－4）2－4（10－2m）>0，,x1＋x2>6，,（x1－3）（x2－3）>0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－24>0，,4－m>6，,10－2m－3（4－m）＋9>0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>2\r(6)或m<－2\r(6)，,m<－2，,m>－7))⇒－7<m<－2eq\r(6).9．a<c<b【解析】由2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k<1)，可得2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，且k<1，分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k的图象，如图，由图可知，a<c<b.10．(1)3129(2)68【解析】(1)当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：v＝800·ln50＝800·(2ln5＋ln2)≈800·(2×1.609＋0.693)＝3128.8≈3129(m/s)；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1600(m/s)，总质比为eq\f(M,5m)，要使火箭的最大速度至少增加800(m/s)，则1600·lneq\f(M,5m)－800·lneq\f(M,m)≥800，即2·lneq\f(M,5m)－lneq\f(M,m)≥1，即ln(eq\f(M,5m))2－lneq\f(M,m)≥1，即lneq\f(M,25m)≥1，所以eq\f(M,m)≥25e≈67.95≈68，所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.四、解答题11．【解析】(1)由题设可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,4－x<0，))故0<x<4，故f(x)的定义域为(0，4)，而f(x)＋f(4－x)＝log2x－log2(4－x)＋log2(4－x)－log2x＝0，故f(x)的图象关于点(2，0)对称．(2)因为f(x)＝g(x)有两个不同的实数解，故eq\f(x,4－x)＝x＋a在(0，4)上有两个不同的实数解，整理得到x2＋(a－3)x－4a＝0在(0，4)上有两个不同的实数解，设h(x)＝x2＋(a－3)x－4a，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h（0）>0，,h（4）>0，,0<\f(3－a,2)<4，,（a－3）2＋16a>0，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4a>0，,16＋4（a－3）－4a>0，,0<\f(3－a,2)<4，,a2＋10a＋9>0，))解得－1<a<0.12．【解析】(1)由题意知，当x＝10时，R(x)＝10×102＋10a＝4000，所以a＝300.当0≤x<40时，W＝900x－(10x2＋300x)－260＝－10x2＋600x－260；当x≥40时，W＝900x－eq\f(901x2－9450x＋10000,x)－260＝eq\f(－x2＋9190x－10000,x).所以W＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－10x2＋600x－260，0≤x<40，,\f(－x2＋9190x－10000,x)，x≥40.))(2)当0≤x<40时，W＝－10(x－30)2＋8740，所以当x＝30时，W有最大值，最大值为8740；当x≥40时，W＝－(x＋eq\f(10000,x))＋9190≤－2eq\r(x·\f(10000,x))＋9190＝8990，当且仅当x＝eq\f(10000,x)，即x＝100时，W有最大值，最大值为8990.因为8740<8990，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元．13．【解析】(1)设点P(x，y)为g(x