推理与证明10课时学生

第1 【学习目推理 【经典例题一例1 2n例 221,222,223,由此，我们猜 31 32 3【随堂练 131323(1132333123)2n313233n3【经典例题二例 已知数列

的通项公式

(n

(nN*

f(n)(1a1)(1

)(1an)，f(1f(2)f(3f(n（n＝１，２，３，…．n－2个图形中共有 已知：数列{an}a11，且

n1

an1

，试归纳出这个数列的一个通项公 （1（2（3迎迎，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“迎迎，则f(5) f(n)f(n1) （答案用数字或n的解析式表示）1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中,第100项 ①sin2300sin2900sin2150032②sin250sin2650sin212502．4522,45

,…，由此你猜出第个n数 f(n)1111(nN*，经计算:f(2)3f(4)2f(8)5f(16)3 f(32)7，推测当n2时， 2112,23432,3456752，按此规律下去，第8个等式 6

fx

2xx

x1

xn

fxn

n2，则

,

,

分别 ．猜xn sin2300cos2600sin300cos6004sin2200cos2500sin200cos5004sin2150cos2450sin150cos45034a1a1

2n(n24 23317222

2

210a，b112,3,4,堆最底层（第一层）分别按如图所nn层就放一f(nn（1）f(3（2）f(n（n表示

…第10【学习目标

第2 类比推理 【经典例题一例 例 1例 3

【随堂练定义anan1d（d为常数，n2，nN通项ana1(nmnp (m,n,p,qN* .【经典例题二例4 方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面 cM cMaL例 在平面几何里，由勾股定理“设△ABC的两AB，ACAB2AC2BC2平面几何勾股定理，可以得到的正确的结论是：“设三棱锥ABCDABC，ACD

PA PA

BBA a2在△ABC中，若C90，ACb，BCa，则△ABC的外接圆的半径ra22结论推广到空间，写出相类似的结 等比数列{an}

mn,pqNmnpqamanapaq由类比推理可得，若{an}等差数列，且有mnpq，则_ _.底×高×2 __.a的性质|a|2=a2z的性质ax2bxc0(ab,cR有两个不同实数根的条件是b24ac0az2bzc0(abcC有两个不同复数根的条件是b24ac0其中类比错误的是__.1在平面几何里，可以得出正确结论：“3空间，类比上述结论，四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的

” 在平面直角坐标系中，直线一般方程为AxByC0，圆心在(x0,y0)的圆的一般方程为(xx)2(yy)2r2；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为 球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程为 现有一个关于平面图形题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的 部分的面积恒4

的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体部分的体积恒 已知ABCabcr（SABC表示ABC的面积

1r(abcABCDR2VABCD 在等差数列an中若a100则有等式a1a2 ana1a2

n19,nN

类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等 Cx2y2

M、NCP1 PM、PNKPM、KPN时，那么KPMKPNPx2y2

1 第3演绎推 .若集合M的所有元素都 ，S是M的一个 ，那么S中所有元素也都具有性质P.例 已知lg2=m,计算例 如图，在锐角三角形ABC中D、E是垂足，求证：ABMD、E的距离相等【随堂练①归纳推理是由部分到整体的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理 例 证明函数f(x)x22x在(,1)内是增函数例5 设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？ 是正确的,结论必定是正确的 由“等腰三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性 设函数f(xax1(a,bZ，曲线yf(x在点(2,f(2处的切线方程为y3xyf(x的解析式yf(x)yf(x)x1yx所围三角形的面积为定值，明 密 密 明yloga(x2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”通过密钥得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则后得明文 1.1，之后每位同学所报出的数都是 定义a*bab|a*b||a||b|sin其中和b的夹角，若u(2,0),uv(1,3),则|u*(uv)| AB、CDEF、GHIJ各点，最后又回A（如图所示ABBC，AB//CD//EF//HG//IJ，BC//DE//FG//HI//JAn 整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因 （P（M，故某奇数aaa

a2

aa aa Rf(x

2x2x1

是奇函数.（Ⅰ）ab（Ⅱ）若对任意的tRf(t22tf(2t2k0恒成立，求k的取值范围f(x)4xax22x3xR在区间[－1，1]上是增函数3axf(x)2x1x3x1、x2.m3m2+tm+1≥|x1－x2|a∈At∈[－1，1]m的取值范围；若不存ay＝xa有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在ax

]上是减a数，在 ，＋∞)上是增函数aby＝xbx

（x＞0）的值域为6，求b

x2（常数c＞0）

第4推理案 和两种 到，到 到 到的推理n例 已知数列a的第1项a1，且n

(n12,)n

1例2设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)= n4时f(n

（用n表示例 122

322222

423223

1)2n22n1

1)212

即：123nn(n1).类比上述求法：请你求出122232n22【随堂练5（1）1，5，9，13，5233823384

中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A中元间的一个关 aAaa，bAabb传递性：对于a，b，cA，若ab，bc则有 则称 ， 例4设m为实数，利用求证方程x22mxm10有两个相异实根5已知sin230sin290sin21502sin25sin265sin21252通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性题3 2

（*）并给出（*）已知数列a1a1

(n12,)

2122 各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成 b平面直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因 f(x1

2ff(x)

间满足关系：AB2AC2BC2。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直， 现有bgag（ba0mg(0ma一生验，提炼出一个不等式 1 1n在各项为正的数列annSnSn2anan（1）a1a2a3（2）由（1）猜想数列an的通项公式（3）证明函数f（x）=x3+x在R上是增函数，并证明过程中运用的“nf(n（2）f(2f(1)，f(3f(2)，f(4f(3（3）f(n如图某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、BC四个维修点某种配件各5件使用前发现需将AB四个维修点的这批配件别调整为、、 、件,但调只能在相邻维修之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动件次.第5 直接证明的两种基本方法分析法和综合明直接证明的两种基本方法分析法和综合明证【学在数学中，证明是的一些真实题来确定某一命题真实性的思维过程，有直接证明或间2....fx)

2x

是奇函数，0Rf(0

a 【经典范例一1分别用综合法和分析法证明：

a+b 22如图，已知AB、CDO，△ACO≌△BDO，AE=BF，求证OFEOFE D3用分析法证明例【一设a，bx的一元二次方程(a2+b2x2+4abx+2ab如图，在ABCDAE⊥BD，E，CF⊥BDF，用分析法证明32 32

6CEFA-56CEFA【经典范例二4用综合法证明：

cos1sin

1sinxcos5用分析法证明

cos1sin

1sinxcos【随堂练习二a，ba+b=111 a，ba+b=111 【分层训练对任意正整数n，2n与(n+1)2的大小关系 1Sinθ+cos5

，则Sin 函数f（x）＝3cos(3x-θ)-sin（3x-θ)为奇函数，则θ的一个值 设若a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，则a，b，c满足的一个等式 y=f(x)是R上的偶函数，且是周期为2的周期函数，当2≤x≤3时，f(x)＝2x， 已知3a=0.6，a∈[k,k+1]，k∈Z，则 2，B（1，2，C（10，3aaa用分析法证明:当aaa

＜ aba若a＞b＞0时,用分析法证明 abaOAO 【师生互动

第6直接证明（二 a0b0ab≤4， ≥

≥2 ③11≥1; ≤1

a ba一定成立的 baab如果 ab

a、b已知数列an的通项公式是

abcan

AB为锐角，且tanAtanB

3tanAtanB

3AB..例 已知：f(x)x4x3x21，求证：xR,f(x)例 在△ABC中,:求证例 设a,b是两个正实数，且ab，求证【随堂练设abR,a

ab

①1≤ab

a22

a2ab1 21

a2ab 1；21

a22

x>0，y>0(x2y22x3y3ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证： a b ab例 如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,足为F.求证 FE 例 若a1,b1,求证

11a若ab+1>a+b，则实数a,b应满足的条 已知、为锐角，且tan12

tan3

,则xyxy11 f(xlg1xf(a)aaC

f(aa0b0,C已知C1C

abCCabC

（号0（号设a≠b,则(a2+b2) 已知a,b,c是不全相等的正数，则 若|x|+|y|+|z|=5且|x+y|=0,|x-3|≤1,则实数x,y,z中最大的一个 1 ab 2ab已知函数f(x)2,,实数a>0,b>0,若Af ,Gf(ab),Hfab,,则A、G H的大小关系

,a,b,c均为正数,anan+1｛an｝3=2

f(bn-1)(n∈N,n≥2),求证 }

第7间接证弄清直接证明和间接证明的区别学会对命题进行否定弄清反证法的基本解题步骤 例 2求证3例 证明

2,

5不能为同一等差数列的三项【随堂练0a,b,c1，求证：(1a)b(1b)c1c)a,142p2p

例 求证：正弦函数没有比2小的正周期例 已知：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，EF1(ABCD)2ABCD

EGFEGF用反证法证明“若x2+5x+6=0,则x=-2或x=-3”时,应假 2已知：四边形ABCD中，对角线AC=BD=1.求证：四边形中至少有一条边不小 22用反证法证题,的主要类型有哪些?那些情况适宜使用反证法命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定 .△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理(1)所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相. (4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即 已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设 求证：ACBD是异面直线.a+b+c>0，ab+bcca>0，abc0，用反证法证明：a,b,c>0过平面Aaa是唯一的试证明：在平面上所有通过点(2,0)的直线中，至少通过两个有理点（xy为有理数的点）

第8数学归纳法数学归纳法一般步主要应（n0n=kn=k+1 由(1)，(2)可知，命题对于从n=0开始的所有正整数n都正确。“1aa2an11an2(a1n11用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,nN)第一步应验 时结论成立12n例1用数学归纳法证明：1111 12n 2(n6)22n5nN)例 已知f(n)111 1，求证：nf(1)f(2)...f(n1)nf(n)(nN, 【随堂练 1n（nN*，且n1”时，由nk（k1） 2nnk1用数学归纳法证明1111

11

(nN*,k 2n n时,

n 用数学归纳法证明“当nN*时,122223 25n1是31的倍数”时,n1时的原式 ，从k到k1时需添加的项是 例 1n例 已知n，m都是正整数，fn11n （1）求证：当mnfnfmnmn2（2）求证：当n1时f2nn221n

n

1n

n2

1(n

22 22

n(n1

3 (2n1)(2n

2(2n(n1)(n2)(nn)2n132n1)(nN*nknk1”，左边需增空间中有nkf(kk1f(k1)f(knxnynxyn2k1(kNn

用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n=1左边所得的项 ； 123332433n3n13nnabc对一切nN* 凸kf(kk1fk1)

f(k) nN*,求证coscoscos

cos

2nsinnN*,n2,求证:1n

11 数列an满足

n2n

nnN*,4项后,a的表达式,n正数数列a中S1(a1⑴求a、a、a;⑵猜想an n

.第9数学归纳法数学归纳法一般步主要应在证明nk1时题中，关键是怎样与nk的假设结论联系起来用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN)”时，第一步验证 nxnynxyn2k1(kNn

n=5n=41设nN*试比较3n和(n

的大小例 求证：352n123n1能被17整除，nN31，9，25，…，(2n-1)22，…，n【随堂练在数列{an}a11，且SnSn1，2S1成等差数列（Sn表示数列{an}n项和S2S3，S4分别 ；由此猜想Sn n12

n

nn1n1)n32n28n9（nN*）644数列a

1

)a

(n1.用数学归纳法证明：a(n2)

n

n2 例 求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除（其中n，a为正整数n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n1(n2n2)2数列

}

(n

f(n)1a11

)(1

)，试求f(1),f(2),f(3),f(4f(n猜想 ……的第n个式子数列a中a1

,则数列的前5项 ,猜想它的通项

an1222n1)2 时，nk的假设到证明nk132n28k964(nNana11an1n1)ana2a3a4an凸nf(nn0时,11n2

整除8．已知mx1(1x)m≥1mx在数列{a}atanx

1an n

1（1）写出a1,a2a3（2）求数列{an} f（k）满足不等式logxlog32k1x2k1kNx Snf(1f(2f(nSnPn2n1nNSP 第10推理与证明复习凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线数f(n+1) ①“a·3=b·3,a=b”类推出“a·0=b·0a=b”；②“(a+b)c=ac+bc”类推出abab ③“(a+b)c=ac+bc”类推出ab=ab(c≠0)”；④“(ab)n=anbn a2 用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)，从“k到k+1”左端需a2在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径r ，把上面的结论推2到空间，写出相类似的结论为 例 某校对文明班级的评选设计了a,b,c,d,e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式Sac1来计算各班的综合得分，S 显示出0cdeba，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最 .（填入a,b,c,d,e中的某个字母）例 数列

}nSn，已知

n2

（Ⅰ）

（Ⅱ） 4a{n 例 在数列{a}中，

1,

n，求数列{a}的通项公式n

n

an【随堂练 巢的截面图.其中第一