四川省南充市嘉陵第一中学2023年高三数学文下学期期末试题含解析

四川省南充市嘉陵第一中学2023年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b=

（A）（1，1）

（B）（-1，-1）

（C）（1，-1）

（D）（-1，1）参考答案：D略2.函数f（x）=|x|（|x﹣1|﹣|x+1|）是（）A．是奇函数又是减函数 B．是奇函数但不是减函数C．是减函数但不是奇函数 D．不是奇函数也不是减函数参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】首先由奇函数的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣f（x），可判函数f（x）=|x|（|x﹣1|﹣|x+1|）是奇函数；然后利用分类讨论的方法去绝对值符号，由于奇函数的图象关于原点对称，且对称两侧的单调性相同，所以只需讨论0≤x≤1与x＞1时即可；最后根据化简后的分段函数画出其图象，则f（x）的单调性一目了然．【解答】解：因为函数f（x）=的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=|﹣x|（|﹣x﹣1|﹣|﹣x+1|）=|x|（|x+1|﹣|x﹣1|）=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．又因为当0≤x≤1时，f（x）=x（﹣x+1﹣x﹣1）=﹣2x2；当x＞1时，f（x）=x（x﹣1﹣x﹣1）=﹣2x，所以f（x）的图象如图：所以f（x）既是奇函数，又是减函数．故选A．【点评】本题考查函数的奇偶性定义及它的图象性质，同时考查数形结合的方法研究函数的单调性．3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（

）A．162盏

B．114盏

C．112盏

D．81盏参考答案：A4.设，数列{an}中，，,则（

）A.当 B.当C.当 D.当参考答案：A【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足时，如图，若，排除如图，若为不动点则选项C：不动点满足，不动点为，令，则，排除选项D：不动点满足，不动点为，令，则，排除.选项A：证明：当时，，处理一：可依次迭代到；处理二：当时，，则则，则.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.

5.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为()A．0.04

B．0.06

C．0.2

D．0.3参考答案：C略6.记数列的前项和为，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.设集合A={x∈R|＜1}，B={x∈R|2x＜1}，则(

)A．A?B B．A=B C．A?B D．A∩B=?参考答案：A【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】分别化简集合A，B，即可得出结论．【解答】解：∵，∴A={x|x＞1或x＜0}，∵2x＜1，∴B={x|x＜0}，∴B?A．故选：A．【点评】本题考查利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系，考查学生的计算能力，比较基础．8.若命题“，使得”是假命题，则实数取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：C9.在上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】利用三角函数的辅助角公式求出的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由得2sin（x+）≥1，即cosx≥，∵0≤x≤2π，∴x的取值范围是0≤x≤或≤x≤2π，则“”发生的概率P==，故选：B．10.已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．e B．e6 C．e6 D．e参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】设公共点为P（x0，y0），分别求出f′（x）和g′（x），由题意可得f′（x0）=g′（x0），列出方程求出解出x0，再由f（x0）=g（x0）得到b关于a的函数，求出函数的导数，由a的范围和导数的符号求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：设曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同，因为f′（x）=x+2a，g′（x）=，且f′（x0）=g′（x0），所以x0+2a=，化简得，解得x0=a或﹣3a，又x0＞0，且a＞0，则x0=a，因为f（x0）=g（x0），所以，则b（a）=（a＞0），所以b′（a）=5a﹣3（2alna+a）=2a﹣6alna=2a（1﹣3lna），由b′（a）=0得，a=，所以当0＜a＜时，b′（a）＞0；当a＞时，b′（a）＜0，即b（a）在（0，）上单调递增，b（a）在（，+∞）上单调递减，所以当a=时，实数b的取到极大值也是最大值b（）=．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的单调区间、极值和最值，以及对数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a、b为两非零向量，且满足|a|＝2|b|＝|2a+3b|，则两向量a、b的夹角的余弦值为

。参考答案：略12.已知定义在[1,+∞）上的函数。给出下列结论：①函数f(x)的值域为[0,4];②关于x的方程有2n+4个不相等的实数根；③当x时，函数f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S=2；④存在，使得不等式成立，其中你认为正确的所有结论的序号为_______.参考答案：略13.椭圆两焦点之间的距离为

．参考答案：14.若,，且为纯虚数，则实数的值为

．参考答案：15.点A（1，2）关于直线m：x﹣y﹣1=0的对称点是

．参考答案：（3，0）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设点A（1，2）关于直线m：x﹣y﹣1=0的对称点为B（a，b），利用垂直及中点在轴上这两个条件求得a、b的值，可得结论．【解答】解：设点A（1，2）关于直线m：x﹣y﹣1=0的对称点为B（a，b），由，求得，可得B（3，0），故答案为：（3，0）．16.已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】求出球心O到平面ABC的距离，即可求出P到平面ABC距离的最大值．【解答】解：△ABC是边长为的等边三角形，外接圆的半径为1，球O的表面积为36π，球的半径为3，∴球心O到平面ABC的距离为=2，∴P到平面ABC距离的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查P到平面ABC距离的最大值，考查勾股定理的运用，考查球的表面积，属于中档题．17.

．参考答案：3，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中e为自然对数的底数.（1）设函数（其中为f(x)的导函数），判断g(x)在(－1,+∞)上的单调性；（2）若函数在定义域内无零点，试确定正数a的取值范围.参考答案：(1)在上单调递增.(2).【分析】（1）先分析得到，即得函数在上的单调性；（2）先利用导数求出，再对a分三种情况讨论，讨论每一种情况下的零点情况得解.【详解】（1）因为，则，，∴，∴在上单调递增.（2）由知，由（1）知在上单调递增，且，可知当时，，则有唯一零点，设此零点为，易知时，，单调递增；时，，单调递减，故，其中.令，则，易知上恒成立，所以，在上单调递增，且.①当时，，由在上单调递增知，则，由在上单调递增，，所以，故在上有零点，不符合题意；②当时，，由单调性知，则，此时有一个零点，不符合题意；③当时，，由的单调性知，则，此时没有零点.综上所述，当无零点时，正数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数的图象相邻两个对称轴之间的距离为，且f(x)的图象与的图象有一个横坐标为的交点（1）求f(x)的解析式（2）当时，求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的值参考答案：20.在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且AP=．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，因为PR，RQ?平面ADE，且AD，DE?平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，又PR∩RQ=R，故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，故，因此．…12分．21.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccos﹣bsin=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点D在△ABC的外接圆上，且CD=5，△ACD的面积为5，求AC的长．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式，正弦定理化简已知等式可得sinCcosB+sinBsinC=0，由于sinC≠0，可求tanB=﹣，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（Ⅱ）由点D在△ABC的外接圆上，可得D=π﹣B=，或B=D=，利用三角形面积公式可求AD，进而利用余弦定理即可解得AC的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵ccos﹣bsin=0，∴ccosB+bsinC=0，由正弦定理可得：sinCcosB+sinBsinC=0，…3分∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosB+sinB=0，可得：tanB=﹣，∵0＜B＜π，∴B=…6分（Ⅱ）∵由点D在△ABC的外接圆上，可得：D=π﹣B=，或B=D=，…7分∴S△ACD=CD?AD?sinD==5，解得：AD=4，∵在△ACD中，由余弦定理，可得：AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cosD=21或61，∴AC=或…12分22.（12分）（2015秋?河南校级月考）设函数f（x）=﹣ax．（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；（2）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．（其中e为自然对数的底数）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】（1）求f（x）=的定义域，再求导f′（x）==b，从而讨论确定函数的单调性；（2）当b=1时，f（x）=﹣ax，f′（x）=﹣a，从而可得当x2=e2时，f′（x2）+a有最大值，从而只需使存在x1∈[e，e2]，使f（x1）≤0，从而可得a≥﹣，从而解得．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）==b，①当b＞0时，x∈（e，+∞）时，f′（x）