四川省宜宾市江安县底蓬中学2021年高三数学理联考试题含解析

四川省宜宾市江安县底蓬中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：C试题分析：复数的共轭复数为，在复平面内对应点的坐标为，所以位于第三象限。选C考点：复数的概念及运算2.已知集合P={x|x2=1}，Q={x|mx=1}，若Q?P，则实数m的数值为(

)A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣1参考答案：D【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】本题考查的是集合的包含关系判断及应用问题．在解答时，应先将集合P具体化，又Q?P，进而分别讨论满足题意的集合Q，从而获得问题的解答．【解答】解：∵P={x|x2=1}，∴P={﹣1，1}，又∵Q?P，∴当m=0时，Q=?，符合题意；当m≠0时，集合Q中的元素可表示为x=，若=﹣1，则m=﹣1，若=1，则m=1；∴实数m组成的集合是{0，1，﹣1}．故选D．【点评】本题考查的是集合的包含关系判断以及应用问题．在解答的过程当中充分体现了集合元素的特性、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．3.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A．

B．

C．8-2π

D．参考答案：A本题考查了对三视图的识别能力以及组合体的体积计算问题，难度一般。

由三视图可知此几何体为底面边长为2，高为2的正四棱柱挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，已知正四棱柱的体积为，圆锥的体积为，故所求几何体的体积为，故选A4.在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】化圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．5.设，且满足约束条件，且的最大值为7，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：作出可行域，如图四边形内部（含边界），再作直线，平移直线，当它过点时，取得最大值7，由解得，即，所以，，从而得，表示可行域内点与点连线斜率，，所以的最大值为．故选D．考点：简单的线性规划的非线性应用．6.已知点在抛物线的准线上，过点的直线与抛物线相切于两点，则的斜率为（A）1

（B）

（C）

(D)3参考答案：D【知识点】抛物线的简单性质．解析：∵点P在抛物线的准线上，∴抛物线的准线方程为：，∴，∴，∴，抛物线C：，在第一象限的方程为，设切点A（m，n），则，由导数，得y′=2×=，∴在切点A处的斜率为，∴直线PA的方程为：y﹣n=（x﹣m）．将点（﹣3，2）代人，得到2﹣n=（﹣3﹣m）①，②，∴，∴A（，2+2），同理，可以设切点B（a，b），得到在该点处的斜率为﹣，∴直线PB的方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）．将点（﹣3，2）代人，得到2﹣b=﹣（﹣3﹣a）③b=﹣2

④解得，∴B（，2﹣2），∴直线AB的斜率为：，故选：D．【思路点拨】首先，求出准线方程x=﹣3，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限和位于第四象限的抛物线方程，分别设出切点，并求导，得到相应切点A、B的坐标，然后再由两点的斜率公式求出BF的斜率．

7.设，则a，b，c的大小关系是

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.设，且是和的等比中项，则动点的轨迹为除去轴上点的A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆参考答案：D9.设集合，则满足条件的集合的个数是

（

）A．1

B．3

C．4

D．8参考答案：C10.已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二项式的展开式中含的项的系数是（用数字作答）．

参考答案：10略12.（选修4-5：不等式选讲）函数的最大值等于

．参考答案：13.已知都是定义在R上的函数，，且，且．若数列的前n项和大于62，则n的最小值为

▲

参考答案：6

14.已知函数，若，则的取值范围为

。参考答案：15.函数的最小正周期是．参考答案：π【考点】二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为：π【点评】本题主要考查了二阶行列式，以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力，属于基础题．16.已知随机变量，若，则

．参考答案：0.217.已知变量x,y满足的最大值是

。

参考答案：

9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分分）为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家鼓励消费者购买新能源汽车。某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车，根据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：分组频数频率1030合计（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从这辆纯电动乘用车中抽取一个容量为6的样本，从该样本中任选辆，求选到的辆车续驶里程为的概率。参考答案：（Ⅰ）由表格可知，所以，，，.

………4分（Ⅱ）设“从这6辆纯电动车中任选辆，选到的辆车续驶里程为”为事件，由分层抽样得在中抽1辆，记为A，在中抽3辆，记为B1，B2，B3，在中抽2辆，记为C1，C2，

……6分则任取两辆共有15种取法(A,B1)(A,B2)(A,B3)(A,C1)(A,C2)(B1,B2)(B1,B3)(B2,B3)(B1,C1)(B1,C2)(B2,C1)(B2,C2)(B3,C1)(B3,C2)(C1,C2)

事件有3种情况则.

……12分19.已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣ax+b在点（0，f（0））处的切线方程为y+2=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）若函数g（x）=f′（x）+3x在区间（m，2m+1）上不是单调函数，求实数m的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据函数f（x）在x=0处的切线方程为y+2=0，得f（0）=﹣2，f′（0）=0，求出实数a，b的值即可；（2）根据函数g（x）在区间（m，2m+1）上不是单调函数，得出g′（m）?g′（2m+1）＜0，求出m的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣ax+b，且x＞﹣1，∴f′（x）=﹣2x﹣a；又函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y+2=0，∴f′（0）=1﹣a=0，解得a=1，且f（0）=ln1+b=﹣2，解得b=﹣2，∴f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x﹣2；（Ⅱ）∵f′（x）=﹣2x﹣1（x＞﹣1），∴g（x）=f′（x）+3x=﹣2x﹣1+3x=+x﹣1，∴g′（x）=﹣+1（x＞﹣1）；又函数g（x）在区间（m，2m+1）上不是单调函数，∴g′（m）?g′（2m+1）＜0，即[1﹣]?[1﹣]＜0，∴（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）＜0；∵m＞﹣1，∴m+1＞0，∴1+＞0，1+＞0，∴（1﹣）（1﹣）＜0，即m（2m+1）＜0，解得﹣＜m＜0，∴实数m的取值范围（﹣，0）．点评：本题考查了利用函数的导数求曲线的斜率与切线方程的应用问题，也考查了利用函数的导数判断函数的单调性问题，是综合性题目．20.某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查．现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这名180学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名．（1）试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？（2）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？

选择自然科学类选择社会科学类合计男生6045105女生304575合计9090180附：，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001K00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名，求出抽到男生的概率；（2）填写2×2列联表，计算观测值K2，对照数表即可得出结论．【解答】解：（1）从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为．（2）根据统计数据，可得列联表如下：

选择自然科学类选择社会科学类合计男生6045105女生304575合计9090180，所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关．21.（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；（Ⅱ）设，，，其中，.证明：若，则.参考答案：（Ⅰ）{0,1,2,3,4,5,6,7} （Ⅱ）见解析（Ⅰ）解：当，时，，.可得，.（Ⅱ）证明：由，，，，及，可得

.

所以，.22.本小题满分12分）某普通高中共有教师人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：

第一批次第二批次第三批次女教师男教师

已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是、．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．参考答案：解：（Ⅰ）

-----------3分（Ⅱ）由题意知，三个批次的人数分别是，所以被选取的人数分别为.