四川省成都市安仁中学2023年高三数学文期末试题含解析

四川省成都市安仁中学2023年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）A．n（n∈Z） B．2n（n∈Z） C．2n或（n∈Z） D．n或（n∈Z）参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的图象与图象变化；偶函数．【分析】首先求出直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或，又因为对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），所以要求的实数a的值为2n或2n﹣．【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，于是f（x）=（﹣x）2=x2．设x∈[1，2]，则（x﹣2）∈[﹣1，0]．于是，f（x）=f（x﹣2）=（x﹣2）2．①当a=0时，联立，解之得，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点．②当﹣2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x2在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x﹣2）2在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f′（x）=2x=1，解得x=，∴y==，故其切点为，∴；由（1≤x＜2）解之得．综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或．又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n﹣，（n∈Z）．故应选C．2.若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为

A．-2

B．2

C．1

D．-1参考答案：D略3.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象(

)A．向右平移个单位

B．向右平移个单位

C．向左平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：B4.设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.已知向量a，b，c满足，，则的最小值为（

） A． B． C． D．参考答案：A略6.已知等差数列{an}，Sn为其前n项和，若a1=9，a3+a5=0，则S6的值为（）A．6 B．9 C．15 D．0参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=9，a3+a5=0，∴2×9+6d=0，解得d=﹣3．则S6=9×6+×（﹣3）=9．故选：B．7.若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（） A．x﹣y﹣3=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x+y﹣1=0 D． 2x﹣y﹣5=0参考答案：A略8.在△ABC中，sinA=，，则△ABC的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意结合数量积的运算可得，而△ABC的面积S=，代入数据计算可得．【解答】解：由题意可得，又sinA=，故可得cosA=，故=10故△ABC的面积S===3故选A9.函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像只需将的图像（

）A.向左平移

B.向右平移 C.向左平移

D.向右平移参考答案：A略10.若，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A,所以,选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数，(i为虚数单位)，则实数a的值是

．参考答案：由(1+2i)(1+ai)得，因为是纯虚数，所以，解得。12.若复数z满足，则z=

参考答案：4-3i解：13.已知圆O的一条直径为线段BC，A为圆上一点，，，则向圆O中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为

．参考答案：不妨设，则所求的概率故答案为：

14.设函数，则的值为

。参考答案：答案：15.如图，在梯形ABCD，，，，，且，则的值为______.参考答案：【分析】将转化为用来表示，解方程求得的值.【详解】依题意,，解得.【点睛】本小题主要考查向量的加法和减法运算，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则当λ=__________时有最小值为__________．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：综合题；转化思想；向量法；平面向量及应用．分析：利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．解答：解：由题意，得到AD=BC=CD=2，所以=（+）?（+），=（+）（+），=?+λ++?，=4×2×cos60°+λ×2×2×cos60°+×4×2+×2×2×cos120°，=+2λ+≥+2×2=，（当且仅当λ=时等号成立）．故答案为：，．点评：本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值17.若、满足不等式，则的最小值为

.参考答案：.试题分析：首先根据已知的二元一次不等式组可画出其所表示的平面区域如下图所示.令，将其变形为，要求的最小值即需求在可行域中截距的最大值，由图可知其在点处取得截距最大值，即，故应填.考点：1、简单的线性规划问题；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数，其中是自然对数的底数，．(Ⅰ)若，求的单调区间；(Ⅱ)若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围．参考答案：（1），①若，当或时，；当时，.所以的单调递减区间为，；单调递增区间为.

…4分②若，，所以的单调递减区间为.…5分③若，当或时，；当时，.所以的单调递减区间为，；单调递增区间为.

…7分（2）由

（1）知，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，在处取得极大值.8分

由，得.

当或时，；当时，.

所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.

故在处取得极大值，在处取得极小值.10分

因为函数与函数的图象有3个不同的交点，

所以，即.

所以.

…………12分19.如图,椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2,椭圆C上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F2的直线l交椭圆C于A,B两点,问在x轴上是否存在定点P,使得为定值？证明你的结论.参考答案：（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴.故椭圆的方程为.（4分）（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,,则,,可得.设点,那么,若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,此时,,当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得,此时,,,,综上,在轴上存在定点,使得为定值.（12分）20.(本小题满分12分）2015年10月4日，强台风“彩虹”登陆广东省湛江市，“彩虹”是1949年以来登陆中国陆地的最强台风。“彩虹”给湛江市人民带来了巨大的财产损失，湛江市教育局调査了湛江市50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，（2000,4000]，(4000,6000],(6000,8000]，（8000,10000]五组,作出频率分布直方图（图1)，并向全市发出倡议，为受灾的湛江市居民捐款.(视频率为概率）(I)在湛江市受灾居民中随机抽取3户，设损失超过8000元的居民为X户，求X的分布列和数学期望；(Ⅱ)湛江市教育局调查了50户居民捐款情况如下表（图2)，说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于500元和自身经济损失是否超过8000元有关？参考答案：（Ⅰ）由题意知，的可能取值为0，1，2，3,由频率分布直方图可知，损失超过8000元的频率为0．06，用频率表示概率，则可得～的分布列为0123…4分

………7分（Ⅱ），所以有95℅以上的把握认为捐款数额多于500元和自身经济损失超过是否8000元有关．………12分21.已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e=，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的定义与几何性质，求出它的标准方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去一个未知数，化为一元二次方程的问题，判断S△TRQ是否有最大值即可．解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0；∵e==①，|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6②，a2﹣b2=c2③；解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为；…4分（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，与椭圆的方程联立，得，消去x，得（3m2+4）y2+24my+36=0，∴△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4；

…6分设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，﹣y1），由根与系数的关系，得；∴直线RQ1的方程为y=（x﹣x1）﹣y1，令y=0，得x===，将①②代人上式得x=1；…9分又S△TRQ==|ST|?|y1﹣y2|==18×=18×=18×≤，当3=，即m2=时取得“=”；∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．…12分．点评：本题考查了圆锥曲线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，利用基本不等式求函数的最值问题，是综合性题目．22.已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=?．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的坐标表示与数量积运算求出f（x），即可得出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据f（A）=4求出A的值，再根据△ABC的面积和余弦定理求出b+c的值，即可求出周长．【解答】解：（Ⅰ）点P（，1），Q（cosx，sinx），∴=（，1），=（﹣cosx，1﹣sinx），函数f（x）=?=（﹣cosx）+（1﹣sinx）=3﹣cosx+1﹣sin