2022年云南省曲靖市名校数学九年级第一学期期末达标检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列运算正确的是（）A． B．C． D．2．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，使点P′在△ABC内，已知∠AP′B＝135°，若连接P′C，P′A：P′C＝1：4，则P′A：P′B＝（）A．1：4 B．1：5 C．2： D．1：3．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（）A． B． C． D．4．如图，是的外接圆，，点是外一点，，，则线段的最大值为（）A．9 B．4.5 C． D．5．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，两点在反比例函数的图象上，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，则的值是（）A．2 B．3 C．4 D．67．反比例函数y=和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是()A． B． C． D．8．三角形的一条中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形的面积之比等于（）A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：1.69．如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（）A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm210．如图，为的直径，和分别是半圆上的三等分点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知，则的值为_______．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB=则斜坡AB的坡度为____________13．如图，在正方体的展开图形中，要将﹣1，﹣2，﹣3填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字互为相反数的概率是______．14．把一元二次方程x（x+1）=4（x﹣1）+2化为一般形式为_____．15．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．如max{1，﹣3}＝1，则max{x2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是_____．16．把一副普通扑克牌中的13张红桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数字是3的倍数的概率为______.17．如图所示，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（6，10），则点C的坐标为_____．18．如图，是的中位线，是边上的中线，交于点，下列结论：①；②；③：④，其中正确的是______．（只填序号）．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点，其中点，与轴交于点．求一次函数和反比例函数的表达式；求点坐标；根据图象，直接写出不等式的解集．20．（6分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为点，像这样的三角形均为“中垂三角形.设.（1）如图1，当时，则_________，__________；（2）如图2，当时，则_________，__________；归纳证明（3）请观察（1）（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；拓展应用（4）如图4，在中，分别是的中点，且.若，，求的长.21．（6分）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且.(1)求证：是的切线．(2)若，求的半径．22．（8分）在中，AB=6，BC=4，B为锐角且cosB.(1)求∠B的度数.(2)求的面积.(3)求tanC．23．（8分）如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且∠ACO＝∠CBO．（1）求线段OC的长度；（2）若点D在第四象限的抛物线上，连接BD、CD，求△BCD的面积的最大值；（3）若点P在平面内，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P的坐标．24．（8分）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为；（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．25．（10分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（：特别好，：好，：一般，：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，陈老师一共调查了______名学生；（2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中类学生所对应的圆心角是_________度；（3）为了共同进步，陈老师从被调查的类和类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据完全平方公式、同底数幂乘法、同底数幂除法、合并同类项法则逐一进行分析判断即可．【详解】因为，所以选项A错误；，所以B选项正确；，故选项C错误；因为与不是同类项，不能合并，故选项D错误，故选B．【点睛】本题考查了整式的运算，涉及了完全平方公式、同底数幂乘除法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．2、C【分析】连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP＝∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，代入整理即可得解．【详解】解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，∵，∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP＝P′C，∵P′A：P′C＝1：4，∴AP＝4P′A，连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，∴△APP′是直角三角形，设P′A＝x，则AP＝4x，∴PP'＝，∴P'B＝PB＝，∴P′A：P′B＝2：，故选：C．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质以及判定，掌握全等三角形的五种判定方法的解本题的关键.3、D【分析】把∠A置于直角三角形中，进而求得对边与斜边之比即可．【详解】解：如图所示，在Rt△ACD中，AD=4,CD=3,∴AC===5∴==.故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义；合理构造直角三角形是解题关键．4、C【分析】连接OB、OC，如图，则△OBC是顶角为120°的等腰三角形，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可得，于是求OP的最大值转化为求PM的最大值，因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，据此求解即可.【详解】解：连接OB、OC，如图，则OB=OC，∠BOC=2∠A=120°，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，过点O作ON⊥PM于点N，则∠MON=60°，MN=PM，在直角△MON中，，∴，∴当PM最大时，OP最大，又因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，此时PM=3+6=9，所以OP的最大值是：.故选：C.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难度，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，将求OP的最大值转化为求PM的最大值是解题的关键.5、C【详解】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴，∴，∴S△ABC=4，∴S△BCD=S△ABC-S△ACD=4-1=1．故选C考点：相似三角形的判定与性质.6、D【分析】连接OA、OB、OC、OD，由反比例函数的性质得到，，结合两式即可得到答案.【详解】连接OA、OB、OC、OD，由题意得，，∵，∴，∵，∴，∴，∵AC=3，BD=2，EF=5，∴解得OE=2，∴，故选：D.【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，比例系数与三角形面积的关系，掌握反比例函数解析式中k的几何意义是解题的关键.7、C【解析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案．【详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx-k

经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选C．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．8、C【分析】中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形相似，根据中位线定理，可得两三角形的相似比，进而求得面积比．【详解】根据三角形中位线性质可得，小三角形与原三角形相似比为1：2，则其面积比为：1：4，故选C．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，比较简单，关键是知道面积比等于相似比的平方．9、C【详解】解：由勾股定理计算出圆锥的母线长=，圆锥漏斗的侧面积=．故选C．考点：圆锥的计算10、B【分析】阴影的面积等于半圆的面积减去△ABC和△ABD的面积再加上△ABE的面积，因为△ABE的面积是△ABC的面积和△ABD的面积重叠部分被减去两次，所以需要再加上△ABE的面积，然后分别计算出即可.【详解】设相交于点和分别是半圆上的三等分点，为⊙O的直径..，如图，连接，则，故选.【点睛】此题主要考查了半圆的面积、圆的相关性质及在直角三角形中，30°角所对应的边等于斜边的一半，关键记得加上△ABE的面积是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】令连等式的值为k，将a、b、c全部转化为用k表示的形式，进而得出比值．【详解】令则a=6k，b=5k，c=4k则故答案为：．【点睛】本题考查连比式的应用，是一类比较常见的题型，需掌握这种解题方法．12、【分析】由题意直接利用坡度的定义进行分析计算即可得出答案．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB=，∴∠B=60°，∴∠A=30°，∴斜坡AB的坡度为：tanA=．故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义以及特殊三角函数值是解题的关键．13、【解析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．【详解】解：将-1、-2、-3分别填入三个空，共有3×2×1=6种情况，其中三组相对的两个面中数字和均为零的情况只有一种，故其概率为.故答案为.【点睛】本题考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率.14、x2﹣3x+2=1．【分析】按照去括号、移项、合并同类项的步骤化为ax2+bx+c=1的形式即可.【详解】x2+x=4x﹣4+2，x2﹣3x+2=1．故答案为：x2﹣3x+2=1．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=1（a≠1）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.15、1【分析】根据题意，利用分类讨论的方法、二次函数的性质和一次函数的性质可以求得各段对应的最小值，从而可以解答本题．【详解】∵(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=x2+4x﹣5=(x+5)(x﹣1)，∴当x=﹣5或x=1时，(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=0，∴当x≥1时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥1，当x≤﹣5时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥18，当﹣5＜x＜1时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=﹣2x+8＞1，由上可得：max{x2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．16、【分析】根据概率的定义求解即可【详解】一副普通扑克牌中的13张红桃牌，牌上的数字是3的倍数有4张∴概率为故本题答案为：【点睛】本题考查了随机事件的概率17、（6，﹣10）【分析】根据菱形的性质可知A、C关于直线OB对称，再根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．【详解】解：∵四边形OABC是菱形，∴A、C关于直线OB对称，∵A（6，10），∴C（6，﹣10），故答案为：（6，﹣10）．【点睛】本题考查了菱形的性质和关于x轴对称的点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握菱形的性质是关键．18、①②③【分析】由是的中位线可得DE∥BC、,即可利用相似三角形的性质进行判断即可.【详解】∵是的中位线∴DE∥BC、∴，故①正确；∵DE∥BC∴∴，故②正确；∵DE∥BC∴∴∴∵是边上的中线∴∴∵∴,故④错误；综上正确的是①②③；故答案是①②③【点睛】本题考查三角形的中位线、相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用三角形的中位线得到平行线.三、解答题(共66分)19、（1）y＝－x－2，y＝－，（2）C(1,-3)，（3）－3＜x＜0或x＞1．【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的表达式，进而求出A点坐标，然后再将A点坐标代入反比例函数中即可求出反比例函数的表达式；（2）将一次函数与反比例函数联立即可求出C点坐标；（3）根据两交点坐标及图象即可得出答案．【详解】解：（1）由点B（－2，0）在一次函数y＝－x＋b上，得b＝－2，∴一次函数的表达式为y＝－x－2，由点A(－3，m)在y＝－x－2上，得m＝1，∴A(－3，1)，把A(－3，1)代入数y＝（x＜0）得k＝－3，∴反比例函数的表达式为：y＝－，（2）解得或∴C（1，－3）（3）当时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，根据图象可知此时－3＜x＜0或x＞1．∴不等式的解集为－3＜x＜0或x＞1．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键．20、（1），；（2），；（3），证明见解析；（4）【分析】（1）根据三角形的中位线得出；，进而得到计算即可得出答案；（2）连接EF，中位线的性质以及求出AP、BP、EP和FP的长度再根据勾股定理求出AE和BF的长度即可得出答案；（3）连接EF，根据中位线的性质得出，根据勾股定理求出AE与AP和EP的关系以及BF与BP和FP的关系，即可得出答案；（4）取的中点，连接，结合题目求出四边形是平行四边形得出AP＝FP即可得到是“中垂三角形”，根据第三问得出的结论代入，即可得出答案(连接，交于点，证明求得是的中线，进而得出是“中垂三角形”，再结合第三问得出的结论计算即可得出答案).【详解】解：（1）∵是的中线，∴是的中位线，∴，且，易得.∵，∴，∴.由勾股定理，得，∴.（2）如图2，连结.∵是的中线，∴是的中位线，∴，且，易得..∵，∴，∴.由勾股定理，得，∴.（3）之间的关系是.证明如下：如图3，连结.∵是的中线，∴是的中位线.∴，且，易得.在和中，∵，，∴.∴.∴，即.（4）解法1：设的交点为.如图4，取的中点，连接.∵分别是的中点，是的中点，∴.又∵，∴.∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴是“中垂三角形”，∴，即，解得.（另：连接，交于点，易得是“中垂三角形”，解法类似于解法1，如图5）解法2：如图6，连接，延长交的延长线于点.在中，∵分别是的中点，∴.∵，∴.又∵四边形为平行四边形，∴，易得，∴，∴，∴是的中线，∴是“中垂三角形”，∴.∵，∴.∴，解得.∵是的中位线，∴.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，注意类比思想在本题中的应用，第四问方法一得出是解决本题的关键.21、(1)证明见解析；(2)的半径为1.【分析】（1）如图（见解析），连接OD，先根据等边对等角求出，再根据直角三角形两锐角互余得，从而可得，最后根据圆的切线的判定定理即可得证；（2）先根据圆的切线的判定定理得出是的切线，再根据切线长定理可得，从而可得AC的长，最后在中，利用直角三角形的性质即可得.【详解】如图，连接又，则，且OD为的半径是的切线；（2），是直径是的切线由（1）知，是的切线在中，，则故的半径为1.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的判定定理、切线长定理，较难的是（2），利用切线长定理求出EC的长是解题关键.22、（1）60°；（2）；（3）【解析】(1)直接利用三角函数值，即可求出∠B的度数；(2)过A作AD⊥BC于D，根据cosB，可求出BD的值，利用勾股定理可求出AD的值，即可求得的面积；（3）利用正切概念即可求得tanC的值；【详解】解：（1）∵B为锐角且cosB，∴∠B=60°；（2）如图，过A作AD⊥BC于D，在Rt中，cosB，∵AB=6，∴BD=3，∴，∴，(3)∵BD=3，BC=4，∴CD=1，∴在Rt中，tanC.【点睛】本题考查了三角函数的定义及性质，掌握三角函数的性质是解题的关键.23、（1）2；（2）2；（3）(2，2)，(6，﹣2)或(﹣6，﹣2)【分析】（1）由抛物线的解析式先求出点A，B的坐标，再证△AOC∽△COB，利用相似三角形的性质可求出CO的长；（2）先求出抛物线的解析式，再设出点D的坐标（m，m2﹣m﹣2），用含m的代数式表示出△BCD的面积，利用函数的性质求出其最大值；（3）分类讨论，分三种情况由平移规律可轻松求出点P的三个坐标．【详解】（1）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）中，当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴AO＝2，BO＝4，∵∠ACO＝∠CBO，∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，即，∴CO＝2；（2）由（1）知，CO＝2，∴C（0，﹣2）将C（0，﹣2）代入y＝a（x+2）（x﹣4），得，a＝，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2，如图1，连接OD，设D（m，m2﹣m﹣2），则S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△BOC＝×2m+×4（﹣m2+m+2）﹣×4×2＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝2时，△BCD的面积有最大值2；（3）如图2﹣1，当四边形ACBP为平行四边形时，由平移规律可知，点C向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B，所以点A向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，因为A（﹣2，0），所以P1（2，2）；同理，在图2﹣2，图2﹣3中，可由平移规律可得P2（6，﹣2），P3（﹣6，﹣2）；综上所述，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为（2，2），（6，﹣2），P3（﹣6，﹣2）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积及平移规律等，解题关键是熟知平行四边形的性质及熟练运用平移规律．24、（1）；（2）【分析】（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．【详解】解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为．故答案为；（2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．方法一：用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：第1部第2部ABCDABACADABABCBDBCACBCDCDADBDCD由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD，∴P（M）＝．方法二：根据题意可以画出如下的树状图：由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可