留学生-第一章教学内容至第八章

、 教学内容：第一章至 总评成绩：平时[作业、考勤、期中](50%)+期末考试课堂要求：保持安静、准时到J.Friedman,T.Hastie,&R.Tibshirani,TheofStatisticalLearning:DataMining,InferenceandPrediction.Springer,NewYork,2001.J.M.Utts&R.F.Heckard,MindonStatistics.Books/Cole,Boston,2012.D.Salsburg,TheLadyTastingTea:HowStatisticsRevolutionizedScienceintheTwentiethCentry.2001. ,2017.§1.1随机事§1.2概§1.3古典概型和几何概型§1.4乘法公式与全概率公§1.5事件独立§1.1 必然现 随机现它具有以下特性可以在相同条件下重复进行（可重复性）；每次试验前并不知道哪个试验结果会出现（不确定性）例如抛一枚硬币，观察其落地的 情况记录某对某班记录 的使 样本样本空间，记为S={e};称S中的元素e为样本点或例抛一枚硬币，观察其落地的 情况；𝑺=*正面 记录某区域某时刻骑行小黄车的人数；𝑺*𝟎𝟏𝟐记录 的使 𝑺 𝒕≥随机事定义：一般我们称S的子集A为E的随机事件当且仅当A所包含的一个样本点发生，称事件A发生例3.对某班级听课人数进行一次登记（班级总人数𝑺 𝟎,𝟏,…,记𝑨 至少有𝟏𝟏𝟎人 ⊂A为随机事件，可能发生，也可能不发生基本事件：由一个样本点组成的单点集事事件的事件的关系（包含、相等𝐀⊂𝐁,则称事件B包含事件A，即事件A发生一定𝐀= 𝐀⊂𝐁且B⊂𝑨事件的A与B的和事件，记为 𝐁=*𝒙|𝒙∈𝑨或𝒙∈A与B的积事件，记为 𝑩或 𝑩=*𝒙|𝒙∈𝑨且𝒙∈事件的若𝑨𝑩则称事件A与B不相容，或互斥的 𝑩=𝐒且𝐀𝐁=∅，则称A与B互为逆事件，也称互 𝐀−𝑩 𝒙𝒙∈𝑨且𝒙∉ =𝑨𝑩=𝑨−运算交换律： 𝑩= 𝑩= 2.结合律𝑪)=𝑪𝑪) 𝑪3.分配律𝑪)=𝑪)𝑪) 运算4. 律： 𝑩= 𝑩; 𝑩= 例：设A={甲来听课}；B={乙来听课};则 𝑩, 𝑩, 𝑩 𝑩={甲、乙至少一人来听课 𝑩={甲、乙都来听课 𝑩={甲乙都不来听课 𝑩={甲乙不是都来听课}={甲乙至少有一人不来 §1.2Frequency定义：在相同条件下进行了𝒏次试验，事件A发生的次𝒏𝑨称为A事件发生的频数，比值𝒏𝑨/𝒏称为A发生的频率记 = 频率的𝟎≤𝒇𝒏 ≤𝒇𝒏 =若𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝒌是两两

试验抛硬币次数出现正面次出现正面的频 概率定义1：频率𝒇𝒏(𝑨)的稳定值 →𝒑,𝒏→∞)定义为A发生的概率 ⋅满足下列条件:非负性：对于每一事件A都有𝟎≤𝑷 ≤规范性 对于必然事件S有𝑷 =可列可加性𝑨𝟏𝑨𝟐,⋯是两两互不相容的事件，即对于𝑨𝒊𝑨𝒋=∅𝒊≠𝒋，𝒊𝒋=𝟏,𝟐有 概率的𝑷 𝟎；不可能事件的概率为若𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝒌是两两

𝑷(𝑨𝒊)设A，B是两个事件，若𝑨𝑩𝑷𝑩− =𝑷 −𝑷 ≥𝑷𝑨概率的对于任一事件A,都有𝑷 ≤对于任一事件A，有𝑷 =𝟏−𝑷𝑨对于任意两个事件A,B =𝑷 +𝑷 −性质6推广：A,B,C =𝑷 +𝑷 +𝑷 −𝑷−𝑷 −𝑷 +例：已知𝑷(𝑩𝟏(i)若A,B互不相容，求(ii)若𝑷 =𝟏，求§1.3抛一枚硬币，观察其落地的 情况𝑺 正面 =*H,抛一 ，观察出现的点数𝑺=*𝟏,𝟐,𝟑,𝟒,𝟓,共同点样本空间只包含有限个元每个基本事件发生的可能性相同古典概型(等可能概型定义：若实验E满足样本空每个基本事件发生的可能性相同(等可能).称这种试验为等可能概型(或古典概型)计算𝑷

𝑨包含的基本事件𝑺中包含的基本事件排列𝑨𝒎

𝒏−𝒎

=𝒏𝒏− ⋯(𝒏−𝒎+组合公

𝑪𝒎=𝒏

=

𝒏−𝒎 成一双的概率是多少？(ii)恰有2只配成一双的概率又是多少？例2.甲、乙两人同时对目标各射击一次，设甲 例3.有8件产品，其中有3件是次品，每次 §1.41.有3件产品，1件次品，2件合格品，且合格品种有1抽到合格抽到优抽到合格品的时候，产品为优质品的概率定义：设𝑨，𝑩两个事件，且𝑷 >𝟎，𝑷𝑩 =为在事件𝑨发生的条件下，事件𝑩发生的条件概率非负性：对于每一事件𝑩𝟎≤𝑷𝑩|𝑨规范性 对于必然事件𝑺有𝑷 =可列可加性𝑩𝟏𝑩𝟐,⋯是两两互不相容的事件，即对于𝑩𝒊𝑩𝒋=∅𝒊≠𝒋，𝒊𝒋=𝟏𝟐,有∞

其他性质对于任意两个事件𝑩𝑪，𝑷(𝑨)>𝟎 𝑪 =𝑷 +𝑷 −𝑷𝑩𝑪𝑨乘法设𝑷 >𝟎，则𝑷 =𝑷𝑩 称上式为乘法公式推广：设𝑨,𝑩,𝑪为事件，且𝑷 >𝟎,则𝑷𝑩𝑨𝑷 =𝑷𝑪𝑷𝑩𝑨例1.设事件A,B满足𝑷 =𝟎.𝟔,𝑷 =𝟎.𝟓，𝑷求(1).𝑷(𝑨𝑩)；(2).𝑷(𝑨𝑩);(3).𝑷𝑨∪

=𝟎.样本空间的定义：设S是试验E的样本空间，𝑩𝟏𝑩𝟐𝑩𝒏为E的一组 𝑩𝒊𝑩𝒋=

𝒊≠ 𝒊,𝒋=𝟏,𝟐,⋯,

𝑩𝒊=则称𝑩𝟏𝑩𝟐𝑩𝒏为样本空间的一个划分显然，若𝑩𝟏𝑩𝟐𝑩𝒏是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件𝑩𝟏,𝑩𝟐,⋯,𝑩𝒏中必有且仅有一个发生。全概率定义：设𝑺是试验E的样本空间.𝑨为E的事件，𝑩𝟏,𝑩𝟐,⋯,为𝑺的一个划分，且𝑷 >𝟎,(𝒊=𝟏,𝟐,⋯,𝒏)，𝑷 𝑷𝑨𝑩𝒊上式称为全概率公式(Bayes)定义：设𝑺是试验E的样本空间.𝑨为E的事件，𝑩𝟏,𝑩𝟐,⋯,为𝑺的一个划分，且𝑷 >𝟎,𝑷 >𝟎,(𝒊=𝟏,𝟐,⋯,𝒏)，𝑷

𝑷

𝑩𝒊

𝒊=𝟏,𝟐,⋯,

𝑷

𝑩𝒊上式称 公式 模型识 邮件例2.(P51例5)某种产品中有80%是正品，用某种仪器检查时，正90%。(i)求乙近期出差的概率(ii若已知乙近期出差在外，求甲例4.设A，B为两个事件，若概率𝑷𝑩 =𝟎.𝟗,𝑷𝑨𝑩 =𝟎.𝟔,则概率𝑷𝑨𝑩 §1.5有10件产品其，22次每次1𝒊= 次取到品，𝒊=𝟏,𝟐。不放回抽样𝑷

=

𝐏

=放回抽样

=

=结论：放回抽样时，𝑨𝟏的发生对𝑨𝟐的发生概率完全不影响独立定义：设𝑨,𝑩是两事件，如果满足𝑷𝑨𝑩 =𝑷𝑨𝑷𝑩，则称𝑨,𝑩相互独立，简称𝑨,𝑩独立.显显然，若𝑷𝑨 >𝟎,𝑷𝑩 >𝟎，则𝑨,𝑩相互独立与𝑨,𝑩互不相容不能独立定义：设𝑨,𝑩是两事件，如果满足𝑷𝑨𝑩 =𝑷𝑨𝑷𝑩，则称𝑨,𝑩相互独立，简称𝑨,𝑩独立.显显然，若𝑷𝑨 >𝟎,𝑷𝑩 >𝟎，则𝑨,𝑩相互独立与𝑨,𝑩互不相容不能定理一：设𝑨,𝑩是两事件，且𝑷𝑨 >𝟎.若𝑨,𝑩相互独立，则𝑷𝑩𝑨 =𝑷𝑩.反之亦然.定理二：若𝑨,𝑩相互独立，则下列各事件也相互独𝑨与𝑩𝑨与𝑩,𝑨独 设𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝒏是𝒏个随机事件，若对任意的𝟐≤𝒌≤均𝑷𝑨𝒊𝟏𝑨𝒊𝟐⋯𝑨𝒊𝒌 =𝑷𝑨𝒊𝟏 𝑷𝑨𝒊𝟐 𝑷(𝑨𝒊𝒌)，则称𝑨𝟏,𝑨𝟐,⋯,𝑨𝒏相互独立.(2)必然事件和不可能事件与任何事件都是相互独立的