信号与线性系统第二章连续时间系统的时域

第二章、连续时间系统的时域分析主要内容：系统的数学模型零输入响应与零状态响应奇异函数与信号的时域分解冲激响应与阶跃响应卷积

§2.1引言连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线性常系数微分方程，求解微分方程通常有两种方法：一是直接求解，因涉及的函数变量都是时间t，所以称时域分析法；二是变换的方法，即将时间变量变换为其他变量，所以也称变换域分析法。这一章我们主要讨论时域分析法，下面先看一个RLC串联电路列回路方程可得:或一、经典解法这种形式的方程其解法在高等数学中已学过。求解过程可分为三步：1、求出齐次方程的通解。（称自由响应）2、根据激励函数的具体形式求特解。（称受迫响应）3、根据初始条件求待定系数。这种方法对于简单的正弦函数或指数函数、直流激励时求解比较简单，但对于一些复杂的激励信号求解就比较困难了。

二、叠加积分法这种方法将全响应分为零输入响应和零状态响应r(t)=rzi(t)+rzs(t)初态≠0系统初态=0系统初态=0系统初态=0系统1、求解齐次方程，根据初始状态求出待定系数得rzi(t)2、将e(t)分解为基本函数，分别求解系统对这些基本函数的响应。3、根据线性系统的叠加原理将它们相加得rzs(t)4、r(t)=rzi(t)+rzs(t)§2.2系统方程的算子表示法对于n阶线性非时变系统其输入输出方程为引入算子则方程可改写为：进一步可写成：p就不能随意消去，除非x(-∞)=0，另外由px=py

也不能推出x=y

这是因为结论：1、代数量的的运算规则则对于算子子符号一般般也适用，，只是在分分子分母或或等式两边边的相同算算子符号不能随意约约去。2、它表达的的是一个运运算过程，，应把它作作为整体看看待，书写写时也应把把它写在变变量的左边边，表示该该运算过程程作用于某某个变量。。3、算子形式的的方程实质质上还是一一个微分方方程。因此对于零零输入响应应就是解齐齐次方程D(p)r(t)=0，而求零状状态响应则则要解方程程r(t)=H(p)e(t)。下面我们先先看一个例例子例:电路如图所所示，写出出i1(t),i2(t)的转移算子子。解：直接用用算子符号号列方程：：讨论：1、在电路中中有三个独立的储能能元件，为一个三阶阶系统，特特征方程应应为三次方方程，即H(p)的分母多多项式的的最高次次数应为为三次。。2、所以这这类题目目也可直直接求解解，最后后通过核核对电路路的阶数数来确定定是否能能消去分分子分母母中的公公共因子子。§2.3系统的零零输入响响应前面已经经指出求求零状态态响应就就是求解解齐次方方程：先看一阶阶、二阶阶的简单单情况，，然后再再推广到到一般情情况。其中的C为常数，，需要系系统的初初始条件件来确定定。设初初始条件件为：t=0时r=r(0)一般地，，设初始始条件为为：t=t0时r=r(t0)显然r1(t)，r2(t)都满足原原方程，，所以解解的一般般形式可可写为：：若t=0时的初试试条件为为r(0),r’(0)，代入上式式得：解之便可可得C1，C2对于一般般的n阶齐次方方程可设其特特征方程程有n个根λ1,λ2…λn称特征根根,也称为系系统自然频率率，或称为为转移算算子H(p)的n个极点。。下面分分根的三三种不同同情况来来讨论。。一、特征征根为异异（实））根算子方程程写为：：由前面的的讨论可可写出解解的一般般形式：：若给定系系统的n个初始条条件：我们就可可以确定定其中的的待定常常数C1，C2，…Cn。将初始条条件代入入r(t)就得到一个线性方方程组：：二、特征征根为共共轭复根根因为特征征方程的的系数为为实数，，所以如如果出现现复根则则必定成成对出现现。设特特征根λ1，λ2为一对共共轭复根根，即λ1=α+jβ，λ2=α-jβ则对应的的解为：：所以特征征根为一一对共轭轭复根时时解的一一般形式式写为：：其中的C1，C2同样可由由初始条条件求出出。三、特征征根为k阶重根设特征根根λ为k阶重根，，这种情情况说明明特征多多项式D(p)中有因子子(p-λλ)k，根为其其它的情情况前面面已作出出讨论，，所以我我们只要要求解方方程(p-λλ)kr=0即可。如此推下下去可得得：所以方程程(p-λλ)kr=0解的一般般形式为为：常数C1，C2，…Ck同样可由由初始条条件求出出。例2-1如图RLC串联谐振振电路，，已知L=1H,C=1F,R=2.5Ω初始条件件为：1、i(0)=0A,i’(0)=1A/s2、i(0)=0A,uc(0)=10V分别求上上述两种种情况下下回路电电流的零零输入响响应。解：前面面我们已已经列出出了它的的微分方方程写成算子子形式：：1、初始条条件为i(0)=0A,i’(0)=1A/s时2、初始条条件为i(0)=0A,uc(0)=10V时初始条件件uc(0)=10V不能直接接用于确确定常数数C1,C2所以必须须转化为为i’(0)。代入零输输入响应应的一般般形式得得：1、初始条条件为i(0)=0A,i’(0)=1A/s时2、初始条条件为i(0)=0A,uc(0)=10V时1、由于电电容C上的初始始电压为为10V方向为左左正右负负，所以以电容放放电，方方向与参参考方向向相反，，曲线在在横轴下下方，由由于电路路中存在在电阻将将损耗能能量，最最终电流流变为零零。2、第一种种情况i’(0)=1A/s相当于电电容C上的初始始电压为为-1V方向为右右正左负负，所以以电容放放电方向向与参考考方向相相同，曲曲线在横横轴上方方。电路路的工作作过程与与第二种种情况一一样。例2-2上例中将将电阻改改为R=2ΩΩ初始条件件仍为：：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路电电流的零零输入响响应。解:讨论：这这种情况况特征根根为二阶阶重根，，在电路路理论中中属于临临界阻尼尼的情况况，电路路工作过过程与例例2-1一样。而而例2-1在电路理理论中属属于过阻阻尼的情情况，临临界阻尼尼和过阻阻尼的零零输入响响应电流流都不出出现振荡荡。如果果继续减减小电阻阻则零输输入响应应电流将将出现衰衰减的振振荡，在在电路理理论中称称欠阻尼尼。例2-3上例中将将电阻改改为R=1ΩΩ初始条仍仍件为：：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路电电流的零零输入响响应。解：1、i’(0)=1A/s相当于电电容C上的初始始电压为为-1V方向为右右正左负负，所以以电容放放电方向向与参考考方向相相同，曲曲线在横横轴上方方。电容容放电时时将电容容中的电电能转化化为电感感中的磁磁能；讨论：2、接下来来电感中中的磁能能向电容容释放，，当电感感中的磁磁能全部部转化为为电容中中的电能能时电感感中的电电流为零零；3、电容中中的电能能反向释释放，曲曲线在横横轴下方方，电容容中的电电能转化化为电感感中的磁磁能；4、电感中中的磁能能向电容容释放方方向与2相反，当当电感中中的磁能能全部转转化为电电容中的的电能时时，电感感中的电电流又变变为零；；5、接下来来从1开始重复复这个过过程，由由于电路路中存在在电阻将将损耗能能量，所所以振荡荡幅度逐逐步减小小，最终终衰减为为零。零输入响响应小结结：求解零输输入响应应就是解解齐次方方程D(p)r(t)=0，可根据据特征方方程D(p)=0根的三种种不同情情况写出出解的一一般形式式。对于复杂杂的系统统其特征征根中可可能既有有异实根根又有重重根还可可能有共共轭复根根，则系系统零输输入响应应的一般般形式我我们可以以根据根根的不同同情况分分别写出出，例如如系统的的特征根根中λ1，λ2为两个不同的的实根，λ3=α+jβ，λ4=α-jβ为一对共轭复复根，λ5为三阶重根则则系统零输入入响应的一般般形式写为：：§2.4奇异函数系统的全响应应是零输入响响应和零状态态响应之和，，上一节讨论论了零输入响响应的求法，，后面几节将将讨论零状态态响应的求法法。本节先介介绍几个很有有用的信号函函数，由于这这些信号在实实际中并不存存在，只是数数学上对某些些信号的一种种抽象和理想想化，所以称称为奇异函数数。一、单位阶跃跃函数ε(t)单位阶跃函数延迟t0的单位阶跃函数任意一个函数数f(t)乘ε(t)以后，其乘积积在阶跃之前前为0，之后则保持持f(t)不变。我们来看下面面的一个电路路系统，原来来输入端没有有输入，在t＝0时接入电源E。等效因此，阶跃函函数可以用来来表示理想化化了的开关接接通一信号源源的情况。二、单位冲激激函数δ(t)单位冲激函数数δ(t)除了t=0外其余均为0。δ(t)函数在t=0处的值没有定定义，但其面积积为1，即：，，其面积称为单单位冲激函数数的冲激强度。在图象上用用括号括起来来，表示冲激激强度而不是是函数的幅度度；其幅度有有时也将它看看成无穷大，，在图象上用用箭头表示。。单位冲激函数数的几个性质质：ε(t)和δ(t)这二个奇异函函数特别重要要，要求重点点掌握。有了了这二个函数数对一些分段段表示的函数数表达起来就就比较方便，，另外对一些些不连续的函函数也可以求求导数了。例如：如图所所示的函数可可分段表示为为：实际上对于这这种函数的求求导，通过图图形来求更方方便。在函数数连续的部分分用常规的求求导方法求，，而在函数有有跳变的地方方则有一个冲冲激存在，冲冲激的方向取取决于向上还还是向下跳变变，冲激的强强度则取决于于它的跳跃量量。三、单位斜变变函数R(t)四、门函数我们把幅度为为1宽度为τ的对称矩形脉脉冲信号称为为门函数，记记为Gτ(t)，下标τ表示其宽度。。则宽度为τ幅度为1/τ的门函数记为为1/τGτ(t)。五、单位冲激激偶δ’(t)我们注意到门门函数1/τGτ(t)，不管τ取何值它的面面积总是1，当τ变小时它的幅幅度增大，但但面积保持不不变。所以，，当τ→0时1/τGτ(t)→δδ(t)而1/τG’τ(t)→δδ’(t)δ’(t)为一正一负两两个冲激，因因此称单位冲激偶，带括号的1标在中间，它它并不表示冲冲激的强度，，而表示单位位冲激函数的的导数。冲激偶有下面面的性质§2.5信号的时域分分解一、周期脉冲冲信号表示为为奇异函数之之和1、有始周期矩矩形脉冲2、有始周期锯锯齿形脉冲信信号二、任意信号号分解为异函函数任意信号表示示为冲激函数数的积分当Δt→0时为无穷小量量，用dτ表示；kΔt→连续变量，记记为τ；求和→积分分；近似相等等→相等。§2.6阶跃响应与冲冲激响应一、单位阶跃跃响应与单位位冲激响应系统对单位阶阶跃函数ε(t)的零状态响应称单位阶跃响响应，用rε(t)表示；系统对单位冲冲激函数δ(t)的零状态响应称单位冲激响响应，用h(t)表示。对于线性非时时变系统有：：证明：所以对于线性性非时变系统统，还有如下下的结论：若：e(t)→r(t)则：e’(t)→→r’(t)可见rε(t)，h(t)只要求出其中中之一，另一一个也就相应应地确定下来来了。在实际际的系统分析析中更重要的的是单位冲激激响应h(t)。所以，下面面我们主要讨讨论单位冲激激响应h(t)的求法。二、单位冲激激响应h(t)的求法h(t)是系统在单位位冲激函数δ(t)激励下的零状状态响应。所所以当系统的的激励为δ(t)时，输入输出出算子方程写写为：1、由转移算子子H(p)求h(t)设特征方程有有n个根λ1,λ2…λn。它们是特征征根，也称为为转移算子H(p)的n个极点，或叫叫系统自然频频率。下面要分几几种不同情况况来讨论。(1)、H(p)有n个单极点λ1,λ2…λn且n>m则H(p)可写写成成部部分分分分式式的的形形式式(2)、H(p)有n个单单极极点点λ1,λλ2…λλn但n≤≤m这时时我我们们可可以以把把H(p)化为为一一个个多多项项式式和和一一个个真真分分式式之之和和，，然然后后将将真真分分式式写写成成部部分分分分式式的的形形式式。。即即：：(3)、H(p)有两个个互为为共轭轭的极极点λ1=α+jββ，λ2=α-jββ(4)、H(p)有k阶极点点λ证明：：例1：已知知系统统的微微分方方程为为:求单位位冲激激响应应h(t)。解：1、求转转移算算子H(p)2、将H(p)分解例2：已知知系统统的微微分方方程为为:求单位冲冲激响响应h(t)。解：例3如图RLC串联谐谐振电电路，，已知知L=1H,C=1F,R=1Ω,e(t)=δ(t)求回路路电流流i(t)和电感感上电电压uL(t)的零状状态响响应。。解：1、由算算子的的概念念可直直接写写出关关于电电流i(t)的H(p)2、由算算子的的概念念可直直接写写出关关于电电压uL(t)的H(p)讨论：：在电路路理论论中往往往强强调电电感中中的电电流和和电容容上的的电压压不能能突变变，在在本例例中系系统的的初始始状态态为0，即电电感中中的初初始电电流应应为0，但在在t=0时电感感中的的电流流发生生了突突变。。原因因是电电路所所受的的激励励为δ(t)，这是是一种种理想想的电电源，，在实实际中中并不不存在在，它它的幅幅度为为无穷穷大。。所以以，当当δ(t)在t=0时作用用于系系统的的瞬间间就使使电感感中的的电流流达到到某一一数值值，电电流发发生了了突变变，在在响应应的图图形中中我们们同时时画出出了电电感两两端的的电压压，可可以看看到在在t=0时有一一冲激激电压压存在在，正正是这这个冲冲激电电压使使得电电流发发生的的突变变；电电容上上的电电压也也发生生了突突变。。例4：如图图RC串联电电路受受冲激激电压压激励励，求求回路路电流流i(t)和电容容上电电压uc(t)的零状状态响响应。解：关关于电电流i(t)的H(p)关于电电压uc(t)的H(p)uc(t)也可以以由i(t)的积分分来求求：由H(p)求单位位冲激激响应应小结结：求单位位冲激激响应应就是是求解解微分分方程程1、H(p)有n个单极极点λ1,λλ2…λλn且n>m其中Kii=1,2,…,n为部分分分式式系数数2、H(p)有n个单极极点λ1,λλ2…λλn但n≤m其中Kii=1,2,…,n为部分分分式式系数数,C0,C1,…,Cm-n为多项项式系系数。。3、H(p)有两个个互为为共轭轭的极极点λ1=α+jββ，λ2=α-jββ其中KR为部分分分式式系数数的实实部，，KI为部分分分式式系数数的虚虚部。。4、H(p)有k阶极点点λ其中C1,C2,…,Ck为部分分分式式系数数。2、用求求零输输入响响应的的方法法求h(t)冲激响响应也也与方方程的的特征征根有有关，，而且且也可可以分分为三三种不不同的的情况况。比比较冲冲激响响应与与零输输入响响应的的公式式发现现在n>m时它们们的形形式是是完全全一样样的，，所不不同的的是零零输入入响应应中的的系数数是由由系统统的初初始状状态决决定的的，而而冲激激响应应中的的系数数是由由部分分分式式的系系数决决定的的。其实这这种现现象并并不是是偶然然的。。因为为，冲冲激响响应是是激励励为δ(t)时的系系统响响应。。在t=0时作用用于系系统，，所以以在t>0时系统统的激激励已已为0，因此此我们们完全全可以以用前前面讲讲过的的求零零输入入响应应的方方法求求h(t)。关键键问题题是要要求出出δ(t)在t=0时作用用于系系统后后在0+时刻系统留留下的的初始始状态态。所以对对于线线性非非时变变系统统有：：称卷积积积分分§2.7叠加积分—卷积称卷积积分，并并用“*”表表示两个函数数的卷积运算算，所以上式式可写为r(t)=e(t)*h(t)；更一般地对对于任意两个个函数f1(t)和f2(t)，它们的卷积积运算定义为为：任意一个函数数与δ(t)卷积等于它自自己。§2.8卷积及其性质质一、卷积的计算过过程如果我们将f1(t)和f2(t)的卷积结果记记为g(t)，则卷积可写写成：由卷积的定义义式可以看出出，卷积的过过程可以分为为三个步骤：1、将f1(t)和f2(t)两个函数的变变量由t换成τ；2、将f2(τ)反折并移动；；3、将两个函数数相乘并求积积分。下面我们以下下图两个有始始函数来说明明卷积的计算算过程。f1(t)tf2(t)tf2(τ)τf1(τ)τ将t换成τ将f2(τ)反折并移动将两个函数相相乘并求积分分因此，对于两两个有始的函函数卷积，则则可简单地写写为：例1：计算矩形脉脉冲和指数函数的卷积解：作图1、2、3、最后，卷积的的结果可用图图形表示为：：或用数学表达达式表示为：：这种完全用作作图的方法确确定积分限计计算卷积的方方法称图解法法。这是要求求同学重点掌掌握的。我们们也可以将函函数直接代入入公式计算。。这种方法虽虽然简单，但但对卷积的计计算过程的理理解没有帮助助，所以这种种方法不推荐荐。例如上例例的卷积可计计算如下：从上面计算卷卷积的过程可可以看出，计计算卷积的实实质是二个具具体化：1、函数形式的的具体化；2、积分限的具具体化。二、卷积的性质设有三个函数数u(t),v(t),w(t)1、交换律、分分配律和结合合律u(t)*v(t)=v(t)*u(t)u(t)*[v(t)+w(t)]=u(t)*v(t)+u(t)*w(t)u(t)*[v(t)*w(t)]=[u(t)*v(t)]*w(t)交换律证明：：结合律证明：：例2：用交换律重重做前例12、卷积后的微微分两个函数卷积积后的导数等等于其中之一一求导后与另另一函数的卷卷积。证明：由交换律知由这个性质得得到的直接推推论是：任何何函数与δ’(t)卷积相当于对对函数求导：：3、卷积后的积积分两个函数卷积积后的积分等等于其中之一一求积分后与与另一函数的的卷积。证明：由交换律知由这这个个性性质质得得到到的的直直接接推推论论是是：：任任何何函函数数与与ε(t)卷积积相相当当于于对对函函数数求求积积分分：：4、两两函函数数的的卷卷积积等等于于其其中中一一个个函函数数的的微微分分和和另另一一个个函函数数的的积积分分由卷卷积积后后的的微微分分和和卷卷积积后后的的积积分分不不难难证证明明：：由这这个个性性质质我我们们可可以以直直接接推推出出杜杜阿阿美美尔尔积积分分利用用这这个个性性质质还还可可以以简简化化卷卷积积的的计计算算。。5、函函数数延延迟迟后后的的卷卷积积证明明：：前面面已已指指出出任任意意一一个个函函数数与与δ(t)卷积积等等于于它它自自己己，，即即：：f(t)*δδ(t)=f(t)由此此性性质质我我们们又又可可得得出出结结论论：：任任意意一一个个函函数数与与δ(t)的延延迟迟卷卷积积等等于于函函数数本本身身作作相相应应的的延延迟迟，，即即：：f(t)*δδ(t-t0)=f(t-t0)例3：利利用用性性质质4、5重做做例例1解：：6、相相关关卷卷积积两个个函函数数x(t)与y(t)的相相关关定定义义为为：：所以以，，两两个个函函数数x(t)与y(t)的相相关关也也定定义义为为：：如果果两两个个相相同同的的函函数数进进行行相相关关运运算算，，则则称称自相相关关，记记为为Rxx(t)相关关函函数数反反映映了了两两个个函函数数的的相相似似程程度度。。Rxx(0)为信信号号能能量量，，且且Rxx(0)≥≥Rxx(t)。这这是是因因为为例4求两两个个相相同同的的门门函函数数的的卷卷积积g(t)。解：：我们们将将这这个个结结果果总总结结为为：：1、两两个个相相同同的的门门函函数数（（对对称称的的））的的卷卷积积是是一一个个三三角角形形；；2、宽度增加加一倍；3、最大值为为两个相同同的门函数数重合时函函数值之积积再乘以门门函数的宽宽度。这是一个典典型例子，，很重要，，希望把它它记住。这这个结论以以后可以作作为一个定定理使用前面已经指指出计算卷卷积的实质质是二个具具体化：函函数形式的的具体化和和积分限的的具体化。。其中积分分限的具体体化更重要要些。下面面列出几种种特殊的情情况：例5、RC串联电路，，及激励信信号如图所所示。其中中R=0.5Ω，C=2F电路初始状状态为零，，求响应电电流i(t)。解：在前面面的例题中中已求得，，该电路的的冲激响应应为：激励电压可可写为：则有线性非非时变系统统的定义：：§2.9线性系统响响应的时域域求解一、时域分分析小结r(t)=rzi(t)+rzs(t)系统物理模模型系统方程转移算子H(p)冲激响应h(t)卷积积分零状态响应应rzs(t)全响应r(t)阶跃响应rε(t)杜阿美尔积积分零输入响应应rzi(t)初始状态激励e(t)二、指数函函数激励下下的系统响响应s0≠λj第一部分为为零输入响应应，第二部分分则为零状态响应应。系统的全全响应中只只包含λ1，λ2，…，λn分量称自然频率分分量；另外还有有s0分量相应地地称为激励频率分分量。如果将上式式写为：第一部分只只包含自然然频率分量量，第二部部分只包含含激励频率率分量。所所以，第一一部分称自然响应或自由响应；第二部就就称为受迫响应。对于一个稳稳定系统，，系统的响响应或最终终趋于零或或最终趋于于一个常数数。所以我我们将系统统的响应中中最终趋于于零的部分分称瞬态响应；最终趋于于一个常数数的部分称称稳态响应。结论：1、系统的全全响应可分分为零输入入响应（输输入为零））和零状态态响应（状状态为零））；自然响响应（只含含系统自然然频率）和和受迫响应应（只含激激励频率））；瞬态响响应（最终终趋于零））和稳态响响应（最终终趋于一个个常数）。。2、指数函函数激励励通过线线性非时时变系统统后仍保保持原指指数函数数的形式式。3、指数函函数也是是一种典典型的基基本信号号，今后后还会看看到一般般的信号号也可以以分解为为指数信信号。例：如图RC串联电路路，已知知R=1ΩΩ，C=1F，e(t)=(1+e-3t)ε(t)；电容上上的初始始电压uc(0-)=1V求电容上上的响应应电压uc(t)。解：直接接列算子子方程由H(p)还可求得得:又例：已已知线性性非时变变连续时时间系统统的自然然响应为，，受迫迫响应为为。。则下列说说法正确确的是？？1、该系统统一定是是二阶系系统；2、该系统统稳定；；3、零输入入响应一一定包含含；；4、零状态态响应一一定包含含。。而又可写写成：零零输入响响应＋零零状态响响应只含自然然频率含自然频频率和激激励频率率零输入响响应可写写成：零状态响响应则写成：：三、矩形形脉冲信信号激励励下RC电路的响响应求RC串联电路路在e(t)作用下uc(t)的零状态态响应。。e(t)=E[ε(t)-εε(t-τ0)]前面已求求得冲激激响应其中的RC称为时间间常数，，一般用用τ表示。它它表示电电容充放放电的快快慢，τ越大充放放电越慢慢，反之之越快。。还可以写写出电阻阻上的电电压对于RL电路有类类似的结结论。四、梯形形信号作作用于系系统首先，我我们看一一个简单单的例子子，激励励为如下下的一个个梯形信信号，并并假定系系统的冲冲激响应应为h(t)。将梯形信信号进行行二次微微分后就就变为一一系列的的冲激，，而与冲冲激信号号的卷积积最容易易求。最最后我们们只要对对r’’(t)求二次积积分便可可求得系系统的响响应。需需要注意意的是在在微分过过程中可可能将直直流分量量丢失，，遇到这这种情况况需要另另外求系系统对直直流的响响应。这个例子子告诉我我们对于于任意的的信号还还可以用用折线来来近似，，然后用用上面的的方法求求解。显显然，所所取的线线段越多多结果越越正确。。当然，，线段越越多计算算量也越越大，但但我们可可以用计计算机来来进行数数值计算算。§2.10系统响应应的数值值计算法法信号的分分解虽然然有多种种方法，，但用得得比较普普遍的还还是卷积积。所以以，我们们下面讨讨论卷积积的数值值计算。。求系统统的零状状态响应应就是计计算卷积积，即计计算积分分：如果假定定激励是是有始的的系统是是因果的的，并令令则卷积可可写为：：显然计算算这个积积分就是是计算被被积函数数f(t,τ)在区间[0,t]下的面积积。我们将区区间[0,t]分为n个等分,间隔为T，只要把把这n个矩形的的面积加加起来就就是这个个卷积的的近似。。如果我们们只计算算一些离离散点上上的值，，即t=nT上的值，，并记为为ra(nT)那么若将上式式中的符符号分别别简记为为：那么结合合图我们们可以看看出：分别将e(t)和h(t)以T为间隔等等分得到到两个数数列e0,e1,e2,...和h1,h2,h3,...在编写计计算程序序时可将将它们放放在各自自的一维维数组中中，然后后按下图图的规律律计算。。9、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。1月-231月-23Saturday,January7,202310、雨中黄黄叶树，，灯下白白头人。。。18:23:5018:23:5018:231/7/20236:23:50PM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。1月月-2318:23:5018:23Jan-2307-Jan-2312、故人江江海别，，几度隔隔山川。。。18:23:5018:23:5018:23Saturday,January7,202313、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。1月-231月-2318:23:5018:23:50January7,202314、他乡生白白发，旧国国见青山。。。07一月月20236:23:50下下午午18:23:501月月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月236:23下午午1月-2318:23January7,202316、行动出成成果，工作作出财富。。。2023/1/718:23:5018:23:5007January202317、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。6:23:50下下午午6:23下下午午18:23:501月月-239、没没有有失失败败，，只只有有暂暂时时停停止止成成功功！！。。1月月-231月月-23Saturday,January7