天津北辰区霍庄中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

天津北辰区霍庄中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在给定区间M上，还存在正数t，使得对于任意，且为M上的t级类增函数，则以下命题正确的是A.函数上的1级类增函数B.函数上的1级类增函数C.若函数上的t级类增函数，则实数t的取值范围为D.若函数级类增函数，则实数a的取值范围为2参考答案：C2.函数，则满足的x的取值范围是（

） A．，2]

B．[0，2]

C．[1，+]

D．[0，+]参考答案：D略3.若集合满足对任意的，有，则称集合为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是（

）A．自然数集

B．整数集

C．有理数集

D．实数集参考答案：A略4.已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（

）．A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为(

)A．24 B．20 C．16 D．12参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．6.设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以A1A2为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．2 D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义和以及圆的有关性质可得PF1=2a，PF2=4a，再根据勾股定理得到a，c的关系式，即可求出离心率．【解答】解：如图所示，由题意可得OQ∥F1P，OQ=OA2=a，OF2=C，F1F2=2c，∴==，∴PF1=2a，∵点P为双曲线左支的一个点，∴PF2﹣PF1=2a，∴PF2=4a，∵以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，∴∠F1PF2=90°∴（2a）2+（4a）2=（2c）2，∴=3，∴e==，故选：B【点评】此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．7.已知全集中有m个元素，中有n个元素．若非空，则的元素个数为A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.执行如图所示的程序框图，若输入a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为（）A．1.125 B．1.25 C．1.3125 D．1.375参考答案：D【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=1.25，b=1.5时满足条件|a﹣b|＜0.3，退出循环，输出的值为1.375．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=2，c=0.3执行循环体，m=，不满足条件f（m）=0，满足条件f（a）f（m）＜0，b=1.5，不满足条件|a﹣b|＜c，m=1.25，不满足条件f（m）=0，不满足条件f（a）f（m）＜0，a=1.25，满足条件|a﹣b|＜c，退出循环，输出的值为1.375．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基础题．9.已知复数z满足=1﹣i（i为纯虚数），那么复数z（）A．1 B．2 C．i

D．2i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵，∴z=（1﹣i）（1+i）=1﹣i2=2．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．10.复数z=i2(1+i)的虚部为（

）A．1

B．i

C．–1

D．–i参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为．参考答案：5π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π．故答案为：5π．12.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y,观影人数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）参考答案：②③【分析】根据图象可知盈利额y与观影人数x成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.【详解】解:由图象(1)可设盈利额y与观影人数x的函数为,,即为票价,当时,,则为固定成本,由图象(2)知,直线向上平移,不变,即票价不变,变大,则变小,成本减小.故①错误,②正确;由图象(3)知,直线与轴的交点不变,直线斜率变大,变大,即提高票价,不变,则不变,成本不变.故③正确,④错误;故答案为:②③【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及和对一次函数图象的影响,是基础题.13.给出定义：若(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x–{x}|的四个命题：①函数y=f(x)的定义域是R，值域是；②函数y=f(x)的图像关于直线x=(k∈Z)对称；③函数y=f(x)是周期函数，最小正周期是1；④函数y=f(x)在上是增函数.

则其中真命题是____________(写出所有真命题的序号).参考答案：①②③14.是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：

略15.若直线的极坐标方程为，曲线：上的点到直线的距离为，则的最大值为 参考答案：略16.若实数、，满足，则的取值范围是

．参考答案：略17.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为(

) A．2 B． C．4 D．参考答案：D考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，可得=4，即可求出双曲线的离心率．解答： 解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，∴=4，∴a2=3b2，∴c2=4b2，∴e==．故选：D．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆上的任意一点到它的两个焦点，的距离之和为，且其焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线与椭圆交于不同的两点Ａ，Ｂ．问是否存在以Ａ，Ｂ为直径的圆过椭圆的右焦点．若存在，求出的值；不存在,说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）依题意可知

又∵，解得

——————————————————（2分）则椭圆方程为．—————————————————————（4分）（Ⅱ）联立方程

消去整理得：（6分）则解得

①————————————————————（7分）解得

——————————————（11分）检验都满足①，————————————（12分）略19.如果函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且f(x)为增函数，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f()＝f(x)－f(y)；(2)已知f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．参考答案：(1)证明：∵f(x)＝f(·y)＝f()＋f(y)，∴f()＝f(x)－f(y)．(2)∵f(3)＝1，f(a)>f(a－1)＋2，∴f(a)－f(a－1)>2.∴f()>2＝f(3)＋f(3)＝f(9)．∵f(x)是增函数，∴>9.又a>0，a－1>0，∴1<a<．∴a的取值范围是1<a<．20.已知向量m＝（cosx，sinx），n＝（cosx，cosx）（x∈R），设函数f（x）＝m·n（1）求f（x）的解析式，并求最小正周期．

（2）若函数g（x）的图像是由函数f（x）的图像向右平移个单位得到的，求g（x）的最大值及使g（x）取得最大值时x的值．参考答案：解：（1）（x∈R）∴f（x）的最小正周期为（2）∴当，即时21.2018年2月4日，中央一号文件《中共中央国务院关于实施乡村振兴战略的意见》发布，对农村电商发展提出新的指导性意见，使得农村电商成为精准扶贫、乡村振兴的新引擎.某电商2018年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃销售，为了解该地区果园的樱桃销售量情况，现从中随机抽取60个樱桃果园，统计各果园2017年的销售量（单位：万斤）.得到下面的频率分布直方图.

（1）从样本中销售量不低于9万斤的果园随机选取3个，求销售量不低于10万斤的果园个数的分布列及其数学期望；（2）该电商经过6天的试运营，得到销售量(单位:万斤）情况统计表如下：

运营第n天123456第n天电商销售量yn1.211.311.451.712.025.54

根据相关性分析，前天累计总销售量与之间具有较强的线性相关关系，由最小二乘法得回归直线方程.用样本估计总体的思想，预测该电商至少运营多少天可使总销量不低于该地区各果园2017年平均销售量的两倍.注：1.前天累计总销售量；2.在频率分布直方图中，同一组教据用该区间的中点值作代表.参考答案：（1）由频率分布直方图可得样本中2017年销将量不低于9万斤的果园有个，销售量不低于10万斤的果园有个.随机变量的可能取值为0，1，2，3.，，，，所以随机变量的分布列为∴数学期望.（2）由运营期间销售量情况统计表可得前天累计总销售量如下：∴，将样本中心点代入回归直线方程，得，∴，下面用直方图中各区间中点值作为代表，估计该地区2017年平均销售量：由题意得：，解得.∵，∴该电商至少运营9天可使总销量不低于该地区各果园2017年平均销售量的两倍. 22.（文）等比数列满足，，数列满足（1）求的通项公式；（5分）（2）数列满足，为数列的前项和．求；（5分）（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有

的值；若不存在，请说明理由．（6分）参考答案：解：（1）解：，所以公比

2分计算出

3分

4分