几何学的变革培训课程

9几何学的变革欧几里得平行公设非欧几何的诞生非欧几何的发展与确认射影几何的繁荣几何学的统一9几何学的变革欧氏几何在公元前300年就已产生，其特征是建立了公理化方法：即从几个概念和几个命题，演绎出本学科其它所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌。运用这种方法的学科被认为是严谨的和成熟的科学。欧氏几何的公理体系出现在欧几里得的《原本》中，在其之后的2200后，希尔伯特在《几何基础》加以完善。其间，许多数学家作了许多公理体系的完备性工作。9几何学的变革

然而，令人放心不下的是该公理体系中的第五公设，即平行公设的问题。因为人们发现即使欧几里得本人也尽量避免使用它。9几何学的变革9.1欧几里得平行公设第五公设（即平行公设）寻求第五公设的证明非欧几何的孕育9几何学的变革9.1欧几里得平行公设一第五公设（即平行公设）《原本》中五个公设：1由任意一点到另外任意一点可以画直线2一条有限直线可以继续延长3以任意点为心及任意的距离可以画圆4凡直角都彼此相等5同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交9.1欧几里得的平行公设从古希腊时代开始，人们一直对第五公设有疑问，二千年来，数学家们一直在想消除这个疑问，其途径有二：一是用更为自明的命题代替第五公设；二是证明它，使其成为一个定理。两千年来提出众多的替代公设有：9.1欧几里得的平行公设存在一对同平面的直线彼些处处等距离过己知直线外一点能且只能作一条直线与己知直线平行存在一对相似但不全等的三角形如果一个四边形有一对对边相等，并且它们与第三边构成的角均为直角，则余下的两个角也是直角9.1欧几里得的平行公设如果四边形有三个角是直角，则第四个角也是直角至少存在一个三角形，其三角和等于二直角过任何三个不在同一直线上的点可作一圆三角形的面积无上限

但所有这些替代公设，也不自明。9.1欧几里得的平行公设二寻求第五公设的证明多少世纪以来，试图证明第五公设的人是如此之多，差不多够一个军团，但所有这些尝试均告失败。9.1欧几里得的平行公设三非欧几何的孕育

1萨凯里（Saccheri）著《欧几里得无懈可击》（1733）从著名的“萨凯里四边形”出发证明平行公设2克吕格尔1763年，克吕格尔指出萨凯里的工作并未导出矛盾，他怀疑能否证明平行公设9.1欧欧几几里得得的平平行公公设3兰伯特特著《平平行线线的理理论》》（1766））他认识识到一一组假假设如如果不不引起起矛盾盾的话话，就就提供供了一一种可可能的的几何何。兰伯特特最先先指出出通过过替换换平行行公设设而展展开新新的无无矛盾盾的几几何学学的道道路。。萨凯里、、克吕格格尔、兰兰伯特是是非欧几几何的先先行者。。平行公理理的研究究(公元元前3世世纪至1800年)A+B+C=2π非欧几何何的孕育育欧几里得普莱菲尔(苏格兰,1748-1819)

勒让德(法,1752-1833)若一直线线落在两两直线上上所构成成的同旁旁内角和和小于两两直角,那么么把两直直线无限限延长,它们们都在同同旁内角角和小于于两直角角的一侧侧相交.勒让德(法,1752-1833)《《几何学学原理》》：这条条关于三三角形的的三个内内角和的的定理应应该认为为是那些些基本真真理之一一。这些些真理是是不容争争论的，，它们是是数学永永恒真理理的不朽朽的例子子。(1832)1733年萨凯凯里(意意,1667-1733)《欧几几里得无无懈可击击》非欧几何何的孕育育非欧几何何的孕育育1766年兰伯伯特(法法,1728-1777)《平行行线理论论》不认认为锐角角假设矛矛盾,认认识识到如果果一组假假设不引引起矛盾盾,就就提供了了一种可能的几几何1763年，克克吕格尔尔(德,1739-1812)第第一位对对平行线线公设是是否能由由其它公公理加以以证明表示怀疑疑的数学家家1820年F••鲍约(匈,1775-1856):““我经经过了这这个长夜夜的渺无无希望的的黑暗,在这这里埋没没了我一一生的一一切亮光光和一切切快乐,……或或许这个个无底洞洞的黑暗暗将吞食食掉一千千个犹如如灯塔般般的牛顿顿,而而使大地地永无光光明。””9.2非非欧欧几何的的诞生高斯波约罗巴切夫夫斯基9.2非非欧欧几何的的诞生一高斯斯（Gauss，1777——1855）1799年，高高斯意识识到平行行公设不不能由其其它欧氏氏公理推推出来，，并从1813年起发发展了这这种平行行公设在在其中不不成立的的新几何何学，称称之为反反欧几里里得几何何学，但但高斯生生前未发发表。9.2非非欧欧几何的的诞生二波波约（1802—1860））1823年，波波约开始始理解平平行公设设问题的的实质，，称“我我要白手手起家创创造一个个奇怪的的新世界界”。波波约称他他的非欧欧几何为为“绝对对几何””。著《绝对对空间的的科学》》9.2非非欧欧几何的的诞生三罗罗巴切夫夫斯基（（1792—1856）1826《简要论论述平行行线定理理的一个个严格证证明》1829《论论几何原原理》1835—1838系系列列论文《具有完完备的平平行线理理论的新新几何学学原理》》1840《《平行理理论的几几何研究究》9.2非非欧欧几何的的诞生罗巴切夫斯斯基在否定定第五公理理的同时，，假设其反反面之一：：“过已知直线线外一点，，可作多于于一条的直直线与已知知直线平行行”，得到了一系系列定理，，并且认为为他得到了了一门新的的几何学。。罗巴切夫斯斯基宣布自自己建立了了新的几何何学之后，，遭到了许许多数学大大家的嘲笑笑、讽刺，，德国诗人人歌德也出出来讽刺他他。实际上上，罗巴切切夫斯基的的理论得到到世界的认认可是在他他去世几十十年后的事事了。π(α)非欧几何何1813年高斯斯(德,1777-1855)：：非欧几几里得几几何1832年波约约(匈,1802-1860)《《绝对空空间的科科学》几何学上上的哥白白尼1826年罗巴巴切夫斯斯基(俄俄,1792-1856)《简要要论述平平行线定定理的一一个严格格证明》》罗巴切夫斯基(苏联,1951)非欧几何何罗巴切夫夫斯基(俄,1792-1856)，喀喀山大学学教授、、校长1815年着手手研究平平行线理理论，试试图给出出平行公公设的证证明1826年在物物理数学学系会议议宣读《《简要论论述平行行线定理理的一个个严格证证明》1829年论文文《几何何学原理理》在《《喀山大大学通报报》全文文发表直至罗巴巴切夫斯斯基去世世的30年内，，没能赢赢得社会会的承认认和赞美美鲍约(罗马尼亚,1960)非欧几何何鲍约父子之墓9.3非非欧欧几何的的发展与与确认黎曼几何何非欧几何何的相容容性公理系统统的相对对相容性性的证明明非欧几何何的意义义9.3非非欧欧几何的的发展与与确认非欧几何何从发现现到获得得普遍接接受经历历了曲折折的道路路，要达达到这一一目标，，需要确确定非欧欧几何自自身的无无矛盾性性和现实实意义。一黎黎曼几何何黎曼（Rieman，，1826—1866）在1854年发展展了罗巴巴切夫斯斯基等人人的思想想，建立立了现称称为“黎黎曼几何何”的一一种更广广泛的几几何，欧欧氏几何何、罗氏氏几何、、黎曼非非欧几何何都只是是其特例例。9.3非非欧欧几何的的发展与与确认在罗氏几几何产生生后的1854年，德德国数学学家黎曼曼把欧氏氏第五公公设改为为：“过过已知直直线外一一点，没没有与其其平行之之直线””，得到到的一种种新的几几何学——黎曼非非欧几何何，为非非欧几何何的另一一翼。9.3非非欧欧几何的的发展与与确认在黎曼几几何中，，最重要要的一种种对象是是常曲率率空间，，对于三三维空间间，有下下列情形形：曲率为正正常数黎曼非欧欧几何椭椭圆圆几何曲率为负负常数罗氏非欧欧几何双双曲曲几何曲率恒为为零欧氏几何何内蕴几何何，流形形曲率1854年黎曼曼(德,1826-1866)《《关于几几何基础础的假设设》非欧几何何非欧几何何1846年进入入哥廷根根大学专专修语言言和神学学1847-1848年年到柏林林大学,进入入数学领领域1849-1851年年在哥廷廷根大学学,取取得博士士学位,学位位论文““单复变变函数一一般理论论基础””1854年讲讲师职位讲演演:关于几几何基础的假假设,1857年副教教授,1859年教授授1862年得得肺结核,1866年年在意大利逝逝世1876年出出版《黎曼全全集》(发表表论文18篇篇,遗稿12篇)伟大的分析学学家：复变函函数论、阿贝贝尔函数论、、超几何级数数与常微分方方程、解析数数论、实分析析、几何学、、数学物理、、物理学黎曼(德,1826-1866)“黎曼是一一个富有想象象的天才,他他的想法即即使没有证明明,也鼓舞舞了整整一个个世纪的数学学家.”9.3非非欧几何的发发展与确认二非欧几几何的相容性性三公理系系统的相对相相容性的证明明模型与相容性性1868年贝贝尔特拉米(意,1835-1899)非欧几何曳物线伪球面1871年克克莱因(德,1849-1925)1882年庞庞加莱(法,1854-1912)非欧几何克莱因-庞加莱圆9.3非非欧几何的发发展与确认四非欧几几何的意义1解决了平平行公理的独独立性问题。。推动了一般般公理体系的的独立性、相相容性、完备备性问题的研研究，促进了了数学基础这这一更为深刻刻的数学分支支的形成与发发展。9.3非非欧欧几何何的发发展与与确认认2证证明明了对对公理理方法法本身身的研研究能能推动动数学学的发发展，，理性性思维维和对对严谨谨、逻逻辑和和完美美的追追求，，推动动了科科学，，从而而推动动了社社会的的发展展和进进步。。在数数学内内部，，各分分支纷纷纷建建立了了自己己的公公理体体系，，包括括被公公认为为最困困难的的概率率论也也在20世世纪30年年代建建立自自己的的公理理体系系。实实际上上公理理化的的研究究又孕孕育了了“元元数学学”的的产生生和发发展。。9.3非非欧欧几何何的发发展与与确认认3非非欧欧几何何实际际上预预示了了相对对论的的产生生，就就象微微积分分预示示了人人造卫卫星一一样。。非欧欧几何何与相相对论论和汇汇合是是科学学史上上划时时代的的事件件。人人们都都认为为是爱爱因斯斯坦创创立了了相对对论，，但是是，也也许爱爱因斯斯坦更更清楚楚，是是他和和一批批数学学家Poincare,Minkouski,Hilbert等共共同的的工作作。出出现动动钟延延缓，，动尺尺缩短短，时时空弯弯曲等等现象象。这这些都都是非非欧几几何与与相对对论的的科学学发现现。9几几何何学的的变革革9.4射射影影几何何的繁繁荣蒙日(法国,1953)1803年年卡尔尔诺(法,1753-1823)的的《位位置几几何学学》卡尔诺(法国,1950)1799年年蒙日日(法法,1746-1818)的《《画法法几何何学》》射影几几何早期开开拓者者:德德沙沙格(法,1591-1661),帕帕斯卡卡(法法,1623-1662)综合方方法连续性原理对偶原理1822年庞斯列(法,1788-1867)的《论图形的射影性质》射影几几何代数方方法默比乌斯(德,1790-1868)1827年默比乌斯(德,1790-1868)的《重心计算》1829年普吕克(德,1801-1868)的三线坐标普吕克(德,1801-1868)射影几几何射影几几何施陶特(德,1798-1867)

1847年施陶特(德,1798-1867)的《位置几何学》

凯莱(英,1821-1895)在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何凯莱(英,1821-1895)9几几何何学的的变革革9.5几几何何学的的统一一爱尔朗朗根纲纲领（（克莱莱因，，1872年））：所谓几几何学学，就就是研研究几几何图图形对对于某某类变变换群群保持持不变变的性性质的的学问问，或或者说说任何何一种种几何何只是是研究究与特特定的的变换换群有有关的的不变变量。。克莱因因以射射影几几何为为基础础、对对几何何学做做了分分类。。所谓几几何学学，就就是研研究几几何图图形对对于某某类变变换群群保持持不变变的性性质的的学科科，或或者说说任何何一种种几何何学只只是研研究与与特定定的变变换群群有关关的不不变量量。1872年克莱莱因(德德,1849-1925)的《爱爱尔朗根根纲领》》统一的几几何学1865年进入入波恩大大学(建建于1786年年)学习习生物1866-1868年普吕克克(德,1801-1868)的博博士1869-1886年:哥哥廷根大学学、柏林大大学、普法法战争、埃埃尔朗根大大学、慕尼尼黑工业大大学、莱比比锡大学、、哥廷根大大学克莱因使哥哥廷根这座座具有高斯斯、黎曼传传统的德国国大学更富富有科学魅魅力，吸引引了一批有有杰出才华华的年青数数学家，使使之成为20世纪初初世界数学学的中心之之一《爱尔朗根根纲领》射影几何仿射几何单重椭圆几何二重椭圆几何双曲几何欧几里得几何其它仿射几何统一的几何何学克莱因：““音乐能激激发或抚慰慰情怀，绘绘画使人赏赏心悦目，，诗歌能动动人心弦，，哲学使人人获得智慧慧，科学可可改善物质质生活，但但数学能给给予以上的的一切。””几何学的公公理化1899年年希尔伯特特《几何基基础》选择和组织织公理系统统的原则希尔伯特(德,1862-1943)“建立几何何的公理和和探究它们们之间的关关系，是一一个历史悠悠久的问题题；关于这这个问题的的讨论，从从欧几里得得以来的数数学文献中中，有过难难以计数的的专著，这这问题实际际就是要把把我们的空空间直观加加以逻辑的的分析。””本书中的研研究，是重重新尝试着着来替几何何建立一个个完备的，，而又尽可可能简单的的公理系统统；要根据据这个系统统推证最重重要的几何何定理，同同时还要使使我们的推推证能明显显地表出各各类公理的的含义和个个别公理的的推论的含含义。”9、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。21:01:0821:01:0821:011/6/20239:01:08PM11、以我我独沈沈久，，愧君君相见见频。。。1月-2321:01:0821:01Jan-2306-Jan-2312、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。21:01:0821:01:0821:01Friday,January6,202313、乍见翻疑梦梦，相悲各问问年。。1月-231月-2321:01:0821:01:08January6,202314、他乡生白发发，旧国见青青山。。06一月20239:01:08下午21:01:081月-2315、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。一月239:01下下午午1月-2321:01January6,202316、行动出出成果，，工作出出财富。。。2023/1/621:01:0821:01:0806January202317、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。9:01:08下下午9:01下下午21:01:081月-239、没有失败，，只有暂时停停止成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多多事情情努力力了未未必有有结果果，但但是不不努力力却什什么改改变也也没有有。。。21:01:0821:01:0821:011/6/20239:01:08PM11、成功就是日日复一日那一一点点小小努努力的积累。。。1月-2321:01:0821:01Jan-2306-Jan-2312、世间成成事，不不求其绝绝对圆满满，留一一份不足足，可得得无限完完美。。。21:01:0821:01:0821:01Friday,January6,202313、不知香香积寺，，数里入入云峰。。。1月-231月-2321:01:0821:01:08January6,202314、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。06一一月20239:01:08下午午21:01:081月-2315、楚塞三湘湘接，荆门门九派通。。。。一月239:01下下午1月-2321:01January6,202316、少年年十五五二十十时，，步行