直线的交点坐标与距离公式-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义

PAGE2.3直线的交点坐标与距离公式知识梳理知识梳理1、两直线相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解.2、距离公式（1）两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).（2）点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).（3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).知识典例知识典例题型一交点问题例1直线和的交点在y轴上，则k的值为（）A．-24 B．6 C． D．-6【答案】C【分析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解即可．【详解】解：因为两条直线和的交点在轴上，所以设交点为，所以，消去，可得．故选：．巩固练习巩固练习当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】解方程组得两直线的交点坐标，由，判断交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论.【详解】解方程组,得两直线的交点坐标为,，所以交点在第二象限，故选B.题型二两点的距离例2已知点，，且，则的值为()A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】利用两点间距离公式构造方程求得结果.【详解】由题意知：，解得：或本题正确结果：巩固练习巩固练习（多选）对于，下列说法正确的是（）A．可看作点与点的距离B．可看作点与点的距离C．可看作点与点的距离D．可看作点与点的距离【答案】BCD【分析】化简，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，可得，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，故答案为：BCD.题型三点到直线的距离例3已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于()A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】直接根据点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解,得到的值.【详解】因为和到直线的距离相等，由点和点到直线的距离公式，可得，化简得|，,解得实数或，故选C.巩固练习巩固练习（多选）已知直线l经过点，且点到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由题可知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程【详解】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．由已知得，所以或，所以直线l的方程为或．故选：AB题型四平行线间的距离例4已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，由两条平行直线间的距离公式可得：d===.巩固练习巩固练习若直线与平行，则与间的距离为【答案】【分析】根据两直线平行求出的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离.【详解】由题：直线与平行，则，即，解得或，当时，直线与重合；当时，直线与平行，两直线之间的距离为.题型五三角形的面积求解例5已知直线过点且与定直线在第一象限内交于点，与轴正半轴交于点，记的面积为(为坐标原点)，点.（1）求实数的取值范围；（2）求当取得最小值时，直线的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出直线与直线平行时，直线的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数的取值范围；（2）当直线的斜率不存在时，求出点坐标，得出；当直线的斜率存在时，设出方程，求出斜率的范围，联立直线与直线的方程求出点坐标，由三角形面积公式结合判别式法，得出取得最小值时直线的斜率，进而得出直线的方程.【详解】（1）当直线与直线平行时，如下图所示，解得，此时不能形成，则又点在轴正半轴上，且直线与定直线在第一象限内交于点（2）当直线的斜率不存在时，即，，此时当直线的斜率存在时，设直线的方程为由于斜率存在，则且又，或由，得则即由，整理得则，即的最小值为此时，解得则直线的方程为巩固练习巩固练习已知△ABC的两条高线所在直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)．求：(1)BC边所在的直线方程；(2)△ABC的面积．【答案】(1)2x＋3y＋7＝0;(2).【分析】（1）先判断A点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB、AC的方程，进而通过联立可得解；（2）分别求|BC|及A点到BC边的距离d，利用S△ABC＝×d×|BC|即可得解.【详解】(1)∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设kAB＝－，kAC＝1．∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0．由得B(7，－7)．由得C(－2，－1)．∴BC边所在的直线方程2x＋3y＋7＝0．(2)∵|BC|＝，A点到BC边的距离d＝，∴S△ABC＝×d×|BC|＝××＝．巩固提升巩固提升1、直线与直线的交点坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】联立两直线方程，求出公共解，即可得出两直线的交点坐标.【详解】联立两直线的方程，解得，因此，两直线的交点坐标是.故选：B.2、两平行直线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间的距离的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断当两直线，与直线PQ垂直时，两平行直线，间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围.【详解】当时，与的最大距离为5，因为两直线平行，则两直线距离不为0，故选：C.3、“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意知点到直线的距离为等价于，解得或，所以“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件，故选B.4、两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】由两直线平行，可求得m的值，代入两平行线距离公式，即可求解.【详解】因为两直线平行，所以，解得m=2，将6x+2y+1=0化为3x+y+=0，由两条平行线间的距离公式得d==，故选：D.5、直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可.【详解】联立方程，解得：所以两直线的交点为，所以直线的斜率为，则直线的方程为：，即.故选：B6、若直线和直线的交点在第一象限，则k的取值范围为__________．【答案】【分析】由解得交点坐标为根据交点位置得到解出即可.【详解】由解得又∵直线和直线的交点在第一象限，∴解得．故答案为.7、已知直线与直线，且，则直线与直线的交点坐标是______．【答案】【分析】由得，求出a，再解方程组求交点坐标．【详解】因为，所以，所以．联立解得，故直线与直线的交点坐标是．故答案为：8、点到直线的距离不大于4，则的取值范围是________．【答案】【分析】根据点到直线的距离公式即可列出不等式，解出即可．【详解】依题意可知，，解得．故答案为：．9、已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且P（4，3）到直线l的距离为3，求直线l的方程．【答案】y=x，或x+y﹣1=0，或x+y﹣13=0．【解析】试题分析：当直线经过原点时，设直线方程为y=kx，再根据P（4，3）到直线l的距离为3，求得k的值，可得此时直线的方程．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y﹣a=0，由P（4，3）到直线l的距离为3，求得a的值，可得此时直线方程，综合可得结论．解：当直线经过原点时，设直线方程为y=kx，再根据P（4，3）到直线l的距离为3，可得=3，求得k=，故此时直线的方程为y=x．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y﹣a=0，由P（4，3）到直线l的距离为3，可得=3，求得a=1，或a=13，故此时直线的方程为x+y﹣1=0或x+y﹣13=0．综上可得，所求直线的方程为y=x，或x+y﹣1=0，或x+y﹣13=0．10、已知直线方程为.（1）证明：直线恒过定点；（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）；（3）最小值为；此时直线的方程【分析】（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；（2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．（3）若直线分别