山东省临沂市费城中学2022年高二数学文测试题含解析

山东省临沂市费城中学2022年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三个共面向量、、两两所成的角相等，且，，，则

等于（

）A．

B．6

C．或6

D．3或6参考答案：C略2.用反证法证明“若a，b，c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为（

）A.假设a，b，c至少有一个大于1

B.假设a，b，c都大于1C.假设a，b，c至少有两个大于1

D.假设a，b，c都不小于1参考答案：D3.已知i为虚数单位，为复数z的模，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.在A，B两个袋中都有6张分别写有数字0，1，2，3，4，5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，则两张卡片上数字之和为7的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.设全集，，则右图中阴影部分表示的集合为(▲) A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若，则(

)A．

B.

C.

D.

参考答案：A略7.若，且，则a=（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：D8.“a≤0”是“函数在区间内单调递增”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C9.已知椭圆与轴交于、两点，为椭圆上一动点（不与、重合），则（▲）

A.

B.

C.

D.参考答案：D10.（12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，D是CC1的中点，F是A1B的中点，⑴求证：DF∥平面ABC；⑵求证：AF⊥平面BDF．参考答案：（1）证明：取AB的中点E，连接EF，CE，因为F是的中点，所以EF是的中位线，所以，且，又因为D是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又在平面中，所以DF∥平面ABC（2）因为AB＝AA1且F是的中点，所以，又因为，且，所以，所以，所以AF⊥平面BDF。略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是

.参考答案：；解析：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和，不合；所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体；例如从正方体中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，合计个四面体.12.在三棱椎P-ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且，，则该三棱椎外接球的表面积为__________．参考答案：12π由于PA＝PB，CA＝CB，PA⊥AC，则PB⊥CB，因此取PC中点O，则有OP＝OC＝OA＝OB，即O三棱锥P－ABC外接球球心，又由PA＝PB＝2，得AC＝AB＝，所以PC＝，所以．点睛：多面体外接球，关键是确定球心位置，通常借助外接的性质—球心到各顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构成直角三角形，利用勾股定理求出半径，如果图形中有直角三角形，则学借助于直角三角形的外心是斜边的中点来确定球心．13.已知等比数列中，，若数列满足，则数列的前n项和=________.参考答案：14.直线的倾斜角为_______；在y轴上的截距为_________.参考答案：45°，－1；15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，E是AB的中点，则异面直线DE与D1C所成角的余弦值为_____．参考答案：【分析】过E作EF，则即为异面直线与所成角或其补角，在三角形DEF中，计算可得cos.【详解】取的中点F，连接EF，则EF，∴即为异面直线与所成角或其补角，不妨设，则在△DEF中，DE=,,∴在等腰三角形DEF中，可得cos,故答案为：.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直角所成角的定义，考查运算求解能力，是基础题．16.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为

.参考答案：17.已知等差数列{an}是递增数列，且公差为d，若的方差为8，则d=______．参考答案：2【分析】根据等差数列的性质求出平均数，利用方差的定义和等差数列的通项公式列出等式，求解即可.【详解】由等差数列的性质有，，，，的平均值为，所以方差为所以，由是递增数列，则.所以本题答案为2.【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，以及方差的定义，利用方差的公式列出方程是解决本题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间日房租每增加1元，客房出租数就会减少5间．若不考虑其他因素，旅游公司将房间租金提高元，每天客房的租金总收入元．（1）写出与之间的函数关系式；（2）旅游公司将房间租金提高到多少元时，每天客房的租金总收入最高？参考答案：（1）由题知即

……………5分（2）时所以旅游公司将房间租金提高到40元时，每天客房的租金总收入最高…………10分19.已知p:关于x的方程有两个不等的负根；q:关于x的方程无实根。若为真，为假，求m的取值范围参考答案：若方程有两个不等的负根，则，解得，即………3分若方程无实根，则，解得，即q：……6分因为真，为假，所以p、q两命题中应一真一假，即p为真，q为假或q为真，p为假

或，………10分解得或所以的取值范围是或………12分20.等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.参考答案：(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2.

∴数列{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.

设{bn}的公差为d，则有解得，

从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，

所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.21.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与此椭圆分别交于点、，其中，，⑴设动点满足，求点的轨迹方程；⑵设，，求点的坐标；⑶若点在点的轨迹上运动，问直线是否经过轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

参考答案：解：⑴设，依题意知代入化简得故的轨迹方程为⑵由及得，则点，从而直线的方程为；同理可以求得直线的方程为联立两方程可解得所以点的坐标为⑶假设直线过定点，由在点的轨迹上，直线的方程为，直线的方程为点满足得又，解得，从而得点满足，解得若，则由及解得，此时直线的方程为，过点若，则，直线的斜率，直线的斜率，得，所以直线过点，因此，直线必过轴上的点

略22.如图，中心在原点的椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A，B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为：，由继而求出b2=a2﹣c2=1，继而得出椭圆方程．（Ⅱ）设直线斜率为k，则直线l的方程为：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，∵2a=4∴a=2…（1分）∵…（2分）∴b2=a2﹣c2=1…（3分）所以，椭圆的方程为：…（4分）（Ⅱ）法一：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB．①当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴的端点，不符合题意

…（5分）②当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为：y=kx+2由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…（6分）令△＞0，得：（16k）2﹣4?（4k2+1）?12=4k2﹣3＞0∴…（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（8分）又y1=kx1+2，y2=kx2+2∴==…（9分）∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…（10分）∴∴∴k=±2…（11分）∴直线l的方程为：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…（12分）（Ⅱ）法二：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB，设直线l的方程为：x=m（y﹣2）…（5分）由得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…（6分）令△＞0，得：16m4﹣4?（m2+4）?（4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴…（7