山东省德州市乐陵第二中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

山东省德州市乐陵第二中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设(i是虚数单位)，则等于

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞β B．α＜β C．α+β＞0 D．α2＞β2参考答案：D考点： 正弦函数的单调性．

专题： 综合题．分析： 构造函数f（x）=xsinx，x∈，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈[0，]与x∈[﹣，0]上的单调性，从而可选出正确答案．解答： 解：令f（x）=xsinx，x∈，∵f（﹣x）=﹣x?sin（﹣x）=x?sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x∈为偶函数．又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立；故选D．点评： 本题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数f（x）=xsinx，x∈，通过研究函数f（x）=xsinx，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题．3.要得到函数y=sin（5x﹣）的图象，只需将函数y=cos5x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：B【分析】利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数y=cos5x=sin（5x+）=sin5（x+），y=sin（5x﹣）=sin5（x﹣），+=，故把函数y=cos5x的图象的图象向右平移个单位，可得函数y=sin（5x﹣5?+）=sin（5x﹣）的图象，故选：B．4.在△ABC中，，BC=1，AC=5，则AB=A． B． C．

D．参考答案：A因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

5.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x?f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x?f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．6.若方程的根在区间（，）（）上，则的值为（

）

A．－1

B．1

C．－1或2

D．－1或1参考答案：D画出与在同一坐标系中的图象，交点横坐标即为方程的根。故选择D。如图所示。一根，对应的，另一根，对应的，故选择D。本题根从图象上可得。可构造函数，利用零点定理判断。因为，，所以。7.中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.8.复数A．

B．

C．

D．参考答案：D,选D.9.,,,则的大小关系是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.在△ABC中，是的

（）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ=．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】先求得得和的坐标，再根据|+|=|﹣|，求得λ的值．【解答】解：由题意可得=（2λ+2，2），=（﹣2，0），再根据|+|=|﹣|，可得=，解得λ=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查向量的模的定义和求法，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．12.已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为

．参考答案：13.的展开式中的系数为

.(用数字作答)参考答案：8014.已知三棱锥的所有棱长均为2，D是SA的中点，E是BC的中点，则绕直线SE转一周所得到的旋转体的表面积为

．参考答案：15.定义在R上的函数f(x)满足：f(1)=1，且对任意x∈R，都有，则不等式的解集为 参考答案：（0，3）略16.已知,那么展开式中含项的系数为________________.参考答案：【知识点】定积分二项式定理B13J3135根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式可设含项的项是，可知，所以系数为，故答案为135.【思路点拨】根据定积分的计算方法，计算，可得n的值，进而将代入，利用通项公式来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含是第几项，由此算出系数17.过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM，交y轴于点P，切圆于点M，若，则双曲线的离心率是．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据向量加法法则，得到OM是△POF中PF边上的中线．由PF与圆x2+y2=a2相切得到OM⊥PF，从而可得△POF是等腰直角三角形，∠MFO=45°．最后在Rt△OMF利用三角函数的定义算出=，可得双曲线的离心率大小．【解答】解：∵，∴△POF中，OM是PF边上的中线．∵PF与圆x2+y2=a2相切，∴OM⊥PF，由此可得△POF中，PO=FO，∠MFO=45°，又∵Rt△OMF中，OM=a，OF=c，∴sin∠MFO=，即=．因此，双曲线的离心率e=．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为选拔选手参加“中国诗词大会”，某中学举行一次“诗词大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）.（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量X表示所抽取的2名学生中得分在[80,90)内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望.参考答案：解:（1）由题意可知，样本容量，；（2）分数在内的学生有人，分数在内的学生有人，抽取的2名学生中得分在的人数X可能取值0，1，2，则，，，则的分布列为012所以．

19.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a>0)，且a3是6a1与a2的等差中项．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：（1）an的通项公式为an＝2n.（2）Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.20.某厂生产当地一种特产，并以适当的批发价卖给销售商甲，甲再以自己确定的零售价出售，已知该特产的销售（万件）与甲所确定的零售价成一次函数关系’当零售价为80元/件时，销售为7万件；当零售价为50元/件时，销售为10万件，后来，厂家充分听取了甲的意见，决定对批发价改革，将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分，其中固定批发价为30元/件，弹性批发价与该特产的销售量成反比，当销售为10万件，弹性批发价为1元/件，假设不计其它成本，据此回答下列问题（1）当甲将每件产品的零售价确定为100元/件时，他获得的总利润为多少万元？（2）当甲将每件产品的零售价确定为多少时，每件产品的利润最大？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）设该特产的销售量y（万件），零售价为x（元/件），且y=kx+b，由题意求得k，b，设弹性批发价t与该特产的销售量y成反比，求得t，b的关系式，设总利润为z（万元），求得z的关系式，再令x=100，即可得到所求总利润；（2）由（1）可得每件的利润为m=x﹣30﹣（x＜150），运用基本不等式即可得到所求最大值及对应的x值．【解答】解：（1）设该特产的销售量y（万件），零售价为x（元/件），且y=kx+b，由题意可得7=80k+b，10=50k+b，解得k=﹣，b=15，可得y=15﹣x，设弹性批发价t与该特产的销售量y成反比，当销售为10万件，弹性批发价为1元/件，即有t=，设总利润为z（万元），则z=（15﹣x）（x﹣30﹣）=（15﹣0.1x）（x﹣30﹣），令x=100时，则z=（15﹣10）×（100﹣30﹣）=340，即有他获得的总利润为340万元；（2）由（1）可得每件的利润为m=x﹣30﹣（x＜150）=x﹣﹣30=x﹣150++120≤120﹣2=120﹣20=100．当且仅当x﹣150=﹣10，即x=140时，取得等号．则甲将每件产品的零售价确定为140元/件时，每件产品的利润最大．【点评】本题考查一次函数和反比例函数的解析式的求法，考查基本不等式的运用：求最值，注意每件的利润和总利润的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．21.已知命题p：“x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．参考答案：p：∵x∈[1,2]，x2－a≥0，∴x∈[1,2]，a≤x2，∴a≤1.....................