电磁场-老师第六章

第6章静态场的边值问题

电磁场与波主讲人：陈立学

电话：华中科技大学电气与电子工程学院边值问题场域边界条件分界面衔接条件强制边界条件有限值自然边界条件有限值微分方程边界条件初始条件泊松方程拉普拉斯方程有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法边值问题

分离变量法、格林函数法、积分变换法等。解析法：求解偏微分方程的经典方法

主要优点：解是精确的；具有一定的普适性，当问题中的某些参数变化时不必重新求解；具有明确的解析表达式，能够反映参数之间的依赖关系；解连续可微。

主要缺点：适用的范围非常有限，仅有极少数的问题可以直接求解。

解析法主要用于理论分析，获取简单、但具有典型意义问题的解答，建立概念，得到定性理解。

数值法的基本思想是：把求解的场域划分成许多细小的网格（剖分），网格与网格之间通过网格边边界和节点连结在一起。数值法（离散法）：一种极其重要的解题思想以节点上的场量值（或位函数值）为待求未知量，根据函数满足的微分方程确定节点未知场量之间的关系，这种关系用代数方程来描述。。每个未知量建立一个代数方程，所有的代数方程联立得到代数方程组，求解得到节点上的函数值。只要节点足够密，这些节点上的函数值就能很好的反映场的分布（离散解）。

三要素网格节点代数方程组

主要步骤：

场域离散方程离散解方程组后处理数值法（离散法）

代表方法：有限差分法、有限元法数值法：

主要优点：适用的范围广泛，原则上可以求解任何问题。缺点是：计算量大，因此数值法的发展是与高性能计算机技术同步发展的。

当今科学中，科学计算被认为是与科学理论和科学实验并列的三种基本科学方法。随着计算机技术的发展，从天气预报到导弹发射、到飞机设计，几乎所有领域问题的解决都离不开数值计算方法。

在电磁场领域，电磁场数值分析技术已经成为解决工程实际问题的主要手段。

6.1静电场边值问题静电场的求解可分为两类：BoundaryValueProblemandUniquenessTheorem第一类问题：场源问题已知空间电荷分布，求电场分布第二类问题：边值问题已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给定边界条件的电位微分方程的解。直接求积分方程直接求微分方程场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（聂以曼条件Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上的电位已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度或电力线)试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题（阴影区域）缆心为正方形例解R1R2U解场为轴对称，取圆柱坐标通解边界条件图示无限长同轴电缆，内导体加电压U，外导体接地，求内外导体间的电场分布。例6.2分离变量法（了解）SeparationVariableMethod1.分离变量法的思想

把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解，最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。分离变量法解题的一般步骤：写出边值问题（微分方程和边界条件）；分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加得到通解；利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。

分离变量法采用正交坐标系，当场域边界与正交坐标面重合或平行时，分离变量法是一种有效的方法。2.直角坐标系中的分离变量法（二维场）分离变量，设解答为：代入微分方程设分离常数的取值有三种情况：除以12分离常数特解1指数函数特解2特解3

通解为所有特解的叠加

对于具体问题，根据边界条件确定积分常数，积分常数的确定一般有：

比较系数法

傅立叶级数展开法试求长直接地金属槽内电位的分布。

边值问题（D域内）接地金属槽的截面例解代入边界条件，确定积分常数沿x方向作正弦变化，

双曲函数

1）3）2）比较系数当时，当时，4）若金属槽盖电位，再求槽内电位分布通解当

时，傅立叶级数代入通解n＝奇数接地金属槽内的等位线分布作业6.16.3有限差分法FiniteDifferenceMethod1.数值计算的基本思想

当计算场域的边界几何形状复杂时，解析法无法求解，这时可以采用数值计算的方法。将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。把求解连续函数的偏微分方程问题转换为求解离散点上的代数方程组的问题。连续和离散2.二维差分方程的建立

有限差分的网格分割场域的离散不同的离散方式得到不同的差分方程结点多，步长小，计算结果精确网格法h注意用差分代替微分增量一阶差分一阶差商二阶差商中心差分二维静电场边值问题

有限差分的网格分割当场域中或或用差分方程代替微分方程五点差分格式沿x方向在x0处的泰勒公式展开为结点1，x

=x0+

h

，结点3x=x0-h略去高次项同理泰勒级数法若场域离散为矩形网格，写出差分格式矩形网格剖分例解3.差分方程组的求解

(SolutionMethod

)差分方程的特点：当步长h减小，结点增加，方程数很大；方程组的系数是有规律的；各方程的项数只有5项。

采用消元法或行列式的方法求解——存储容量大、计算时间长

采用逐次近似的方法求解，常用的方法为迭代法——一般迭代、松弛迭代（高斯-赛德尔迭代）、超松弛迭代1）松弛法假定结点电位的初值，代入差分方程，计算各结点余数；修正余数最大点的电位，减小该点余数，再重新计算各结点的余数；重复减小最大余数的过程，直至各余数都达很小；松弛法的步骤为达到精度，细分网格，重复以上过程。在接地方形导体管中有一圆形导线（很细），电压为100V，求管线间的电位分布。例解AB000100V对称性，只需求八分之一区域1）设2）划分网格AB000100V3）细分网格，重复以上步骤，重新计算，提高精度。松弛法计算简单；不论初值如何，必收敛于最后解答；收敛速度慢。小结网格编号，假定结点电位的初值，作为解的零次近似值，代入差分方程得一次近似值；判断误差一般迭代结束计算继续计算

网格编号2）迭代法特点一般迭代法计算简单；但用计算机解时需要两套存储单元；收敛速度较慢。高斯—赛德尔迭代法

网格编号特点用计算机解时只需要一套存储单元；迭代时有一半用了迭代的新值，收敛速度较快。

迭代过程直到节点电位满足为止。3）超松弛迭代法a

—加速收敛因子（1<a<2）

网格编号将高斯-赛德尔迭代和松弛法结合，采用了松弛法中余数表示形式。收敛速度与有明显关系：

收敛因子（a

）1.01.71.81.831.851.871.92.0

迭代次数（N）>1000269174143122133171发散最佳收敛因子的经验公式（不唯一）（正方形场域、正方形网格）（矩形场域、正方形网格）收敛速度与电位初始值、网格剖分粗细有关；迭代次数与计算精度及收敛因子有关。泊松方程的超松弛迭代格式4.边界条件离散化（DiscreteBoundaryCondition)第一类边界条件网格结点与边界重合对称边界条件31204对称边网格结点与边界不重合31204h1h2h同理设：h1=ph，h2=qh第二类边界条件分界面衔接条件其中

介质分界面31204h边界节点赋已知电位值赋节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求打印NY程序框图思考题：

上机作业：用有限差分法计算如下电极产生的电场。（4－5人一组）要求：列出边值问题，给出简要的分析；程序框图，程序，节点电位与电场E；根据计算结果，用计算机绘制等位面与电力线。交，6月16日之前交。6月16日进行ppt交流。一些典型的场图方芯圆壳偏心电缆电位分布与电力线分布静电场场图带盖的金属槽电场分布

导体表面是等位面；两导体之间，等位面形状光滑过渡；电力线处处垂直于等位面。静电场场图成夹角的导体板之间的电场