排列 组合及其应用 课件

第二节排列、组合及其应用

三年11考高考指数:★★★1.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题；2.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.1.排列与组合的应用是考查重点；2.常与其他知识交汇命题，考查分类讨论思想；3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中和概率相结合进行考查.1.排列与排列数公式(1)排列与排列数排列按照____________一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素所有不同排列的______排列数所有不同排列个数(2)排列数公式

=______________________=(3)排列数的性质①=___;②0!=___.

n!1n(n-1)(n-2)…(n-m+1)________【即时应用】(1)思考：排列与排列数有什么区别？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数.(2)设x,m∈N*，且m＜19＜x,则(x-m)(x-m-1)…(x-19)用排列符号可表示为_________.【解析】由排列数公式的特征，下标是“连乘数”最大数x-m，上标是“连乘数”的个数，即(x-m)-(x-19)+1=20-m.答案：(3)从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种.【解析】从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有-=186(种).答案：186(4)一条铁路原有m个车站，为了适应客运需求新增加了2个车站，则客运车票增加了58种，那么原有车站________个.【解析】根据题意得：-=58,即(m+2)(m+1)-m(m-1)=58,即m=14.答案：142.组合与组合数公式(1)组合与组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组合数合成一组_________的_____个数所有不同组合组合(2)组合数公式：

==_______________________=_____________.(3)组合数的性质：①=__;②=_____;③+=______.1【即时应用】(1)若则x=______.(2)某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门课程由于上课时间相同，所以至多只能选一门.学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是______.(3)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为______.【解析】(1)由2x-7=x或2x-7+x=20，得x=7或x=9.(2)分两类：第一类A、B、C三门课程都不选，有=35种方案；第二类A、B、C三门课程中选一门，剩余7门课程中选两门，有=63种方案.故共有35+63=98种方案.(3)方法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为

·+·=2×4+1×6=14.方法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14.答案：(1)7或9(2)98(3)14

排列数、组合数公式的应用

【方法点睛】

排列数、组合数公式及其性质的特点及适用范围(1)排列数公式右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数.公式

=主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；(2)组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，乘积形式分母为m！，分子左边第一个因数为n,后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数.多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证.还应注意组合数公式的逆用，即由写出.(3)组合数两个性质的应用性质1：=,常用于当m＞时组合数的计算.性质2：=+常用于含有组合数式子的恒等变形和等式证明.【例1】(1)组合数(n＞r≥1,n、r∈N*)恒等于()(A)(B)(n+1)(r+1)(C)nr(D)(2)若=6,则x=______.(3)+=_______.【解题指南】(1)(2)利用排列数和组合数的公式及意义求解，(3)中注意n的取值范围.【规范解答】(1)选D.

(2)原方程即也就是化简得x2-21x+104=0,解得x=8或x=13,又因为2≤x≤9,且x∈N*,所以x=8.答案：8(3)若+有意义，则解得2≤n≤4.当n=2时，有+=4；当n=3时，有+=7；当n=4时，有+=11.答案：4或7或11【互动探究】在本例的(2)问中，若将条件改为,求x的取值范围.【解析】原不等式即＞,也就是,化简得x2-21x+104＞0.解得x＜8或x＞13,又因为2≤x≤9,且x∈N*,所以x的取值范围是{2,3,4,5,6,7}.【反思·感悟】1.在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解.2.应注意=⇔x=y或x+y=n两种情况.【变式备选】计算的值.【解析】

排列问题的应用【方法点睛】

解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.【例2】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须相邻；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.【解题指南】(1)无限制条件的排列问题直接应用公式；(2)先排前排再排后排；(3)“在”与“不在”的问题，采用“优先法”；(4)(5)(6)“邻”与“不邻”的问题，采用“捆绑法”或“插空法”.【规范解答】(1)从7个人中选5个人来排列，有

=7×6×5×4×3=2520种.(2)分两步完成，先选3人排在前排，有种方法，余下4人排在后排，有种方法，故共有×=5040种.事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.(3)(优先法)方法一：甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其余6人有种方法，故共有5×=3600种.方法二：排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有种方法，共有×=3600种.(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有种方法，再将4名女生进行全排列，也有种方法，故共有×=576种.(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有×=1440种.(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有种方法，故共有××=720种.【互动探究】本例中第(5)问改为“甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻”，其他条件不变，应如何求解？【解析】先排甲、乙、丙以外的4人，有种方法，由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种方法，最后把排好的甲、乙视为一个整体与丙分别插入原先排好的4人空档中，有种方法.所以，总共有××=960种.【反思·感悟】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可，但要看清是全排列还是选排列问题；有限制条件的排列问题，用直接法或间接法.【变式备选】1.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有______个(用数字作答)．【解析】可以分情况讨论：①若末位数字为0，则1、2为一组，且可以交换位置，3、4各为1个数字，共可以组成2×=12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2×=4个五位数；③若末位数字为4，则1、2为一组，且可以交换位置，3、0各为1个数字，且0不是首位数字，则有2×(2×)=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个.答案：242.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有_____种不同的播放方式(结果用数值表示).【解析】分两步：第一步，首尾必须播放公益广告的有种；第二步，中间4个为不同的商业广告有种，所以不同的播放方式共有×＝48种.答案：48

组合问题的应用【方法点睛】

组合问题的常见题型(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动.(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？【解题指南】(1)(2)是“在”与“不在”的问题，采用“直接法”；(3)可分两步；(4)(5)是“至少”、“至多”型问题，采用“间接法”

.【规范解答】(1)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有＝36种选法.(2)由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有＝＝126种选法.(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有种选法，再从余下的9人中选4人，有种选法，所以共有×＝378种选法.(4)可考虑间接法，从12人中选5人共有种，再减去A，B，C三人都不入选的情况种，共有－＝666种选法.(5)可考虑间接法，从12人中选5人共有种，再减去A，B，C三人都入选的情况有种，所以共有－＝756种选法.【反思·感悟】1.对“组合问题”恰当地分类计算，是解组合题的常用方法；2.解题时既要灵活选用直接法或间接法，又要常常结合两种计数原理.【变式训练】1.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()(A)6种(B)12种(C)30种(D)36种【解析】选C.从反面考虑：×－＝6×6－6＝30(种).2.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()(A)10种(B)20种(C)36种(D)52种【解析】选A.根据题意，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有=4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有=6种方法，则不同的放球方法有10种.

排列、组合问题的综合应用【方法点睛】

解排列组合的应用题应注意的问题(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；(2)深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同.【提醒】排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.【例4】(1)(2012·南宁模拟)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有______种．(用数字作答)(2)(2012·桂林模拟)有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种．(用数字作答)【解题指南】(1)根据题意，先安排第一棒，再安排最后一棒，由于甲既可以传第一棒，又可以传最后一棒，因此应分类讨论，然后再逐类安排.(2)根据题意，先将数字之和是10的数分类，然后再逐类安排.【规范解答】(1)甲传第一棒，乙传最后一棒，共有种方案；乙传第一棒，甲传最后一棒，共有种方案；丙传第一棒，共有×种方案.由分类计数原理，共有++×=96种方案.(2)取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有三种情况：1144，2233，1234；所取卡片是1144的共有种排法；所取卡片是2233的共有种排法；所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法

(种)，所以共有排法18×=18×4×3×2×1=432(种).答案：(1)96(2)432【互动探究】本例(1)条件中关于第一棒与最后一棒的产生方法改为只能从甲、乙、丙三人中产生，则不同的传递方案共有多少种？【解析】先确定第一棒与最后一棒再排中间4棒，方案共有

(种).【反思·感悟】解有条件限制的排列与组合问题的思路：(1)正确选择原理，确定是分类还是分步计数；(2)特殊元素、特殊位置优先考虑；(3)再考虑其余元素或其余位置.【变式备选】12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空插入一人，有5种插法，余下的一人则要插入前排5人的空中，有6种插法，故为；综上故选C.【创新探究】几何图形中的排列组合问题

【典例】(2011·湖北高考)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有______种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有______种.(结果用数值表示)【解题指南】由n=1，2，3,4时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数的规律，归纳n=6时的情况；求至少有两个黑色正方形相邻的着色方案种数可考虑利用对立事件求解.【规范解答】n=1，2，3,4时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为2,3，5,8，由此可看出后一个总是前2项之和，故n=5时应为5+8=13，n=6时应为8+13=21；n=6时，所有的着色方案种数为

(种).∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64-21=43(种).答案：2143【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题有以下创新点：(1)命题背景新颖.本题以平面几何中的着色问题为背景，让学生根据所给图形，归纳探究着色规律.(2)考查方式创新.在切入点上一改以往直来直去的文字语言叙述，而是以图形语言的形式呈现，考查了学生对图形语言的理解能力及数学应用意识与应用能力.

备考建议排列组合问题，除了以实际生活为背景命题外，还经常与其他知识相结合命题.以下几点在备考时要高度关注：(1)关注排列组合在几何问题中的应用；(2)关注排列组合在代数问题中的应用；(3)关注排列组合在实际生活中的应用.另外需要强化对图形语言理解的训练，强化常用方法的训练，反复理解体会解题中所运用的数学思想与方法，才能快速正确地解决排列组合问题.

1.(2012·梧州模拟)把3盆不同的兰花和4