大二下-材料力学第三章扭转

第三§3-1扭转的概念和实(Conceptsandexampleproblemof§3-2扭转内力的计(Calculatinginternalforceof§3-3薄壁圆筒的扭(Torsioninthin—wallcircular§3-4圆轴扭转的应力分析及强度条件 yzingstressofcircularbars&strengthcondition)§3-5圆杆在扭转时的变形·刚度条件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)§3-6密圈螺旋弹簧的应力和变形(不讲)(Calculationofthestressanddeformationinclose-coiledhelicalsprings)§3-7非圆截面杆的(介绍Torsionofnoncircularprismatic§3-8(Freetorsionofopenandclosedthin-walled§3-1扭转的概念及实(Conceptsandexampleproblemof一、工程实例(Example二、受力特点(Characterofexternal杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.三、变形特点(Characterof杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动 §3-2扭转的内力的计(Calculatinginternalforceof(CalculationofexternalMe

9 r/

n从动 主动 从动Me—作用在轴上的力偶矩N·m)P—轴传递的功率

n—轴的转速r/min)二、内力的计算(Calculationofinternal求内力(Calculating截面法(Methodof在n-n截面处假想将轴截开取MxT (Signconventionfor采用右手螺旋法则,指向背离截面时扭矩为正,反之为负

n扭矩图(Torque •x••xT用平行于杆轴•x••xT+_x坐标T表示横截面上的扭矩,正的扭矩画在x轴上方,负的扭矩画在x+_x 一传动轴如图所示,其转速n=300r/min,主动轮A输入的功率为P1=500kW.若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.试做扭矩图

A

B解:计算外力

A

9

r/Me115915NMe2Me34774.5NMe46366NCA段内任横一截2-截面上的扭矩.T2为正值由平衡

MxMe2Me3T2

T2Me2Me39549N结果为负号,说明T2应是负值扭矩同理,BC段内

x T1Me24774.5N

同理,BC

T1Me24774.5N

ADT3Me46366N注意：若假设扭矩为正值

Me则扭矩的实际符号与计算符号相同作出扭从图可见,最大扭矩在CA段内

6366+_

9549N

4774.5

9549§3-3薄壁圆筒的(Torsionofthin-walledcylindrical薄壁圆筒：壁厚 1r（r0—圆筒的平均半径10一、应力分析 ysisof实验画纵向线,圆周线施加一对外力偶x圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转各纵向线均倾斜了同一微小角度所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.推论切应力方向垂与圆周相切

DCδe圆周各点处切应力DCδe且数值相等,近似的切应力的数值无变化B推导公(Derivationof dAr(2πr) 2πr2此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布与半径垂直指向与扭矩的转向一致. τTτ二、切应力互等定理(ShearingStress在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力ττττx其方向y轴平行由平衡

Fy两侧面的内力元素dy大小相等,方向相反,将组成一个力偶 ττx要ττxMz Fx它们组成力偶，其矩为(dxdy)d数量相等而转向相反，从而可得切应力互等定(Shearingstress单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等都指相（或背离）该两平面的交线纯剪切单元(Elementinpure单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体 定e(Hooke’slawfor e由图所示的几 式中,r为薄壁圆筒的外半经薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶Me在某一范围内时,Me（在数值上等于T）成正比 2πr T之间的线性关系,与的线性关系 该式称为材料的剪 (Hooke’slawforG–剪切弹性三个弹性常数

G 思考题 下面图形的切应切应变为 切应变为 §3-4圆杆扭转的应力分析·强度 yzingstressofcircularbars&strengthcondition) 观察变 提出假几变形的分布应力的分布 建立公

ExaminethedeformationthenproposethehypothesisDistributionofregularityofEstablishtheRelationshipofDeformation)(Deformation轴向线仍为直线,且长横截面仍为平面且与轴线垂直3径向线保持为直线,只是绕轴线转平面假设(Plane变形前为平面的横截面,后仍保持为平面AaTbEAaTbED ρaG'b倾角是横截面圆周上任一点A处的切应变,是b-b截面相对于a-a截面象刚dx二理关系(Physical由剪 定 ρ

G G

ρ

G'b同一圆周上各点切应力均相同,且其值与成正比,与半三、静力关系(StaticTΡOTΡOrρρdA2ApρGρdφdA G

AA结论 代入物理关系

式中：T—横截面上的I—求应力的点到IPIp—横截面对圆心的极惯 IIp

TTρOrρW Wt称作抗扭截面系数，单位为mm3极惯性矩和抗扭截面系数的计算(calculatingthemomentofinertia§ionmodulusunder实心圆截 ρdAd

Ip

AA

Wt

πd4/32d/

dρO空心圆截Ip

πD4(1dd

其中Wt

(1例题2图示空心圆轴外径D=100mm,内径=80mm,M2=4kN·m,材料的切变模量画轴的扭矩求轴的最大切应力, 其位置 21MABC21MABCll

T1=-

（- T -M

T2 最大扭矩发生在BC++

C _ _（2）求轴的最大切应力 其位

WWt

(1

最大切应力发生在截面的周边上,且 垂直于半径

四、强度(Strength(Mathematical

Tmax t(Applicationofstrength强度校(Checkthe

Tmax设计截(Determinethe

Wt

确 载

Tmax例题3图示阶梯圆轴A段的直径d1=120mm,BC d2=100mm.扭转力偶矩为MA=22kNm,MB=36kNm,MC=14kNm.已知材料的许用切应力=80MPa,试校核该轴的强度.M M解：作轴的扭分别校核两段

3

223

22

πd1/

π(0.12)/64.84MPa_+ _+

14

14

2Wt πd3/271.3MPa

π(0.13)/因此,该轴满足强度要求例题4实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩和长度l均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之0.8,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴dl圆截面的内、外径分别为d2D2;dl转力偶矩相等，则两轴T

DlTTmax1 max2TT t

πd πD3(1 Wt1Wt2 1 t11因

2D3(12 311解311

两轴材料、长度均相同,故两轴的重量积之

π(D2

d2 A2A

D2(1π dπ

1.1942(10.82) 4 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料§3-5杆在扭转时的变形·刚度条件(Torsionaldeformationofcircularbars&stiffnesscondition)一、扭转(Torsional圆轴扭转时的变形是用相对扭转角来度量 其中d代表相距为dx的两横截面间的相对扭转角长为l的一段杆两端面间可按下式 T l Tl

扭转GIp称作抗扭刚单位长度扭转角(Angleoftwistperunit

(rad刚度条件（Stiffness

(radp 单位长度扭转(Allowableangleoftwistperunit例题5图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪模量G=80GPa，DB=1°.DCBAaa扭转角解：画扭Tmax=计算外力偶矩++(Mea2Mea)180 DCDCBAaaAD Tmax t+

(3Me2aMea)180

例题6某汽车的主传动轴40号钢的电焊制成,Me=1.98kNm材料的许用切应力100MPa,切变模量G80GPa,轴的扭角[′2/m.试校核轴的强度和刚度. 解：轴的扭矩等于轴传TMe1.98kN轴的内、外径之 D2

dDIp

πD4(1

7.83105W D/由强度条

2.06104mm3 Tmax96.1MPa t

180

由刚度条

1.81/ [将空心轴改为同一材料的实心轴,仍使max实心轴的直径为

πd3/

其截面面积

4

1749mm2空心轴的截面

π(762712)

577mm两轴材料、长度均相同,故两轴重量比等于两轴的横截面积比A2577 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料例题图示一长为l的组合杆,由不同材料的实心圆截面杆和空心 弹性范围内工作,其抗扭刚度GaIpa、GbIpb.当此组合杆的两端各自固定在刚性板上,并在刚性板处受一对矩为Me的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转 l解：列平衡方 MxMaMb 这是一次超静定问题 变形相容条件是内、外的扭转变形应相同变形几何方程是A物理关

A A

BGa GbB代入变形几何方程,

ab Ga ab GblMa Mb

GaGaIpaGbbMbGaIpaGb§3-7非圆截面杆的扭(Torsionofnoncircular一、基本概念(Basic非圆杆,如矩形截面杆扭转后横截面将发生 而不再是平面等直非圆杆在扭转时横 截面的翘曲程度完全相同.横截面上仍然只有切应力而没有正应力.这一情况称为纯扭转(puretorsion)，或自由扭转(freetors