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文档简介

§7.3统计量的分布

确定统计量的分布往往很复杂,有时还需要特殊技巧或特殊工具.但对于一些特殊的分布，如正态分布，就有简单的方法。(1)

正态总体样本的线性函数的分布则特别地,统计中常用分布若是总体的一个样本;

其中是不全为零的常数

为常数。

(2)分布(n为自由度)定义设相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则n=1

时,其密度函数为n=2

时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.一般地,其中，在x>0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为

n的n=2n=3n=5n=10n=15分布的性质相互独立,证1设则证2设设的分布密度为f（x），则

其中分别为

与

的概率密度，且

当x0时，

当x＞0时，有则令u=xv利用

可得服从自由度为的分布。关于性质3,定义对于给定的正数10a:<<a满足的点

称为分布的（下侧）

分位点。当时，

可用式

求出的近似值。

定理设相互独立,且都服从则(1)与相互独立；(2)

其中例1设相互独立，且

则例2设总体是来自于的一个样本，

其中已知，

求解

由于所以故例3设总体

是来自于的一个样本，其中已知,求解(对任意总体可证);(3)t

分布定义则T所服从的分布称为自由度为n

的t分布其密度函数为X,Y

相互独立,设t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2°t分布的分位数t与双侧分位数t/2

有表可查当n>45时,

有定义(1)对于给定的α:

0<α<1,

满足的点

称为分布的(下侧)

分位点.(2)若数满足

称为双侧分位点.

定理设相互独立,且都服从则与相互独立证定理设和是来自正态总体和中所抽取的独立样本，

则证因为所以则又由于且它们相互独立，

独立，由t分布的定义得

例4设

为来自于正态总体的样本，令

求的分布。解且与相互独立，由t分布的定义知，服从自由度16的t分布。

(4)

F分布则F所服从的分布称为第一自由度为n

,第二自由度为m的F

分布

其密度函数为定义X,Y相互独立，设令m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10F分布的性质例5证明证设是来自正态总体的一个简单随机样本是来自正态总体的一个简单随机样本它们相互独立.令例6则若则的概率不小于90%,则样本容量至少应为多少?例7设总体,为使样本均值大于70解

设样本容量为

n

,则故令得即所以取例8从正态总体中，抽取了

n=20的样本(1)求(2)求解

(1)故(2)

故例9

设随机变量X与Y相互独立，X~N(0,16),

Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

与Y1,Y2,…,Y16

分别是取自X与Y的简单随机样本,求统计量所服从的分布解从而例10

设总体的样本,为总体

X试确定常数c

使cY服从分布.解故因此例11设是来自正态总体N(,2)的简

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