2022年新教材数学人教A版选择性必修课后提升训练模块过关检测

模块过关检测(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12x-2a,则x=(A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)解析由b=12x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20)答案B2.已知直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,若a=(1,1,1),n=(-1,0,1),则直线l与平面α的位置关系是()A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l在平面α内或直线l与平面α平行解析∵a·n=-1+1=0,∴a⊥n,∴直线l在平面α内或直线l与平面α平行.故选D.答案D3.若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于()A.0 B.2 C.1 D.±2解析圆x2+y2-ax-2y+1=0的标准方程为x-a22+(y-1)2=a圆x2+y2-4x+3=0的标准方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径为1,连心线所在直线的斜率为1a中点坐标为a+4由题意可得a24=1,答案B4.如图,在棱长均相等的四面体O-ABC中,点D为AB的中点,CE=12ED,设OA=a,OB=b,OC=c,则OE=(A.16a+16b+1B.13a+13b+C.16a+16b-1D.16a+16b+解析∵CE=12ED,∴=13∴OE=OC=16OA+16OB+2答案D5.若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2A.2 B.3 C.2 D.2解析双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,圆心(2,0)到渐近线距离为d=22则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为d=|2即4(c2-a2)c2=双曲线的离心率e=c2a2答案A6.如图,在几何体ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面ABC,若E是棱B1C1的中点,且AB=AA1=CC1=2BB1,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为()A.1313 B.21313 C.2613解析以C为原点,在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=AA1=CC1=2BB1=2,则A1(3,1,2),A(3,1,0),C1(0,0,2),B1(0,2,1),E0,1,32,A设异面直线A1E与AC1所成角为θ,则cosθ=|A∴异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为2613答案C7.设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且PF1·PF2A.25 B.5 C.210 D.10解析由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-10,0),F2(10,0).设点P(x,y),则PF1=(-10-x,-y),PF2=(10-x∵PF1∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.∴|PF=|=2(x2+答案C8.(2020·福建厦门双十中学高三期中)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足|PA||PB|=2,当P,AA.22 B.2 C.223 D解析以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),∵|PA∴(x两边平方并整理,得x2+y2-6x+1=0⇒(x-3)2+y2=8,当点P到AB(x轴)的距离最大时,三角形PAB的面积最大,此时面积为12×2×22=22答案A二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分)9.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标可以是()A.(2,0) B.(0,2) C.(-2,0) D.(0,-2)解析设C(x,y),AB的垂直平分线为y=-x,△ABC的外心为欧拉线方程为x-y+2=0与直线y=-x的交点,即M(-1,1),∴|MC|=|MA|=10,∴(x+1)2+(y-1)2=10,①由A(-4,0),B(0,4),C(x,y),得△ABC重心为x-43,y+4得x-y-2=0,②由①②可得x=2,y=0或x=0,y=-2.答案AD10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=4,BC=2,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,则下列说法正确的是()A.A、M、N、B四点共面B.平面ADM⊥平面CDD1C1C.直线BN与B1M所成的角为60°D.BN∥平面ADM解析对于A,由图显然AM、BN是异面直线,故A、M、N、B四点不共面,故A错误;对于B,由题意AD⊥平面CDD1C1,故平面ADM⊥平面CDD1C1,故B正确;对于C,取CD的中点O,连接BO、ON,可知三角形BON为等边三角形,故C正确;对于D,BN∥平面AA1D1D,显然BN与平面ADM不平行,故D错误.答案BC11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列四个命题,其中正确的命题是()A.(A1A+A1DB.A1C·(A1C.向量AD1与向量D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·A解析A中,设正方体的棱长为1,则(A1A+A1D1+A1B1)2=A1由AB1⊥A1C,故B正确;C中,A1B与AD1两异面直线所成角为60°,但AD1与A1B的夹角为120°,故C答案AB12.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线是“好曲线”的是()A.x+y=5 B.x2+y2=9C.x225+y29=1 D解析由双曲线定义可知:点M轨迹是以A,B为焦点的双曲线.则a=4,c=5,∴b2=c2-a2=9,∴M的轨迹方程为x216-直线x+y=5过点(5,0),故直线与M的轨迹有交点,是“好曲线”,A正确;x2+y2=9是以(0,0)为圆心,3为半径的圆,与M的轨迹没有交点,不是“好曲线”,B错误;x225+y29=1的右顶点为(5,0),故椭圆与M的轨迹有交点,是把x2=16y代入双曲线方程,可得y2-9y+9=0,此时Δ>0,故抛物线与M的轨迹有交点,是“好曲线”,D正确.答案ACD三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.以(-1,2)为圆心,且与圆C:(x-3)2+(y+1)2=9外切的圆的标准方程是.

解析设所求圆半径为r,则由题意(-1-3)2+所以所求圆方程为:(x+1)2+(y-2)2=4.答案(x+1)2+(y-2)2=414.在四棱锥P-ABCD中,设向量AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则顶点P到底面ABCD的距离为.

解析设平面ABCD的法向量n=(x,y,z),则AB令x=3,则y=12,z=4,∴n=(3,12,4).∴点P到底面ABCD的距离d=|AP·n答案215.(2019·全国Ⅲ,理15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则S△MF1F2=12×|F1F2又S△MF1F2=1∴4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,∴x02解得x0=3或x0=-3(舍去).∴点M的坐标为(3,15).答案(3,15)16.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为,CE和该截面所成角的正弦值为.

解析取A1D1中点G,BC中点P,CD中点H,连接GM、GN、MN、PE、PH、PF、HF,∵MG∥EF,NG∥EP,MG∩NG=G,EF∩EP=E,∴平面MNG∥平面PEFH,∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH,∵PE=2,EF=12四边形PEFH是矩形,∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面PEFH的面积为S=22.以D1为原点,D1A1为x轴,D1C1为y轴,D1D为z轴,建立空间直角坐标系,E(1,2,0),F(0,1,0),H(0,1,2),C(0,2,2),EC=(-1,0,2),EF=(-1,-1,0),EH=(-1,-1,2),设平面PEFH的法向量n=(x,y,z),则n·EF=得n=(1,-1,0),设CE和该截面所成角为θ,则sinθ=|EC∴CE和该截面所成角的正弦值为1010答案22四、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米,拱顶距离水面6.5米.(1)建立如图所示的平面直角坐标系xOy,试求拱桥所在抛物线的方程.(2)若一竹排上有一个4米宽、6米高的大木箱,问此木排能否安全通过此桥?解(1)由题意在平面直角坐标系xOy中,设抛物线方程为y=ax2(a<0).由条件得点(26,-6.5)在抛物线上,∴-6.5=262a,解得a=-1104∴抛物线方程为y=-1104x2,即x2=-104y(2)由(1)可得抛物线的方程为x2=-104y,当x=2时,解得y=-126∵6.5-6=0.5>126∴木排可安全通过此桥.18.(本小题满分12分)如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=219时,求直线l的方程.解(1)由于圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,∴R=|-1+4+7|5=∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①当直线l与x轴垂直时,易知x=-2与题意相符,使|MN|=219.②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2)即kx-y+2k=0,连接AQ,则AQ⊥MN,∵|MN|=219,∴|AQ|=1,由|AQ|=|-k-2+2k|k∴直线l:3x-4y+6=0,故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.19.(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH;(2)求平面DGH与平面GHE的夹角的余弦值.(1)证明因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.又EF⊄平面PCD,DC⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.又EF⊂平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,所以EF∥GH.又EF∥AB,所以AB∥GH.(2)解在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°.又PB⊥平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直.以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BA=BQ=BP=2,则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2).所以EQ=(-1,2,-1),FQ=(0,2,-1),DP=(-1,-1,2),CP=(0,-1,2).设平面EFQ的一个法向量为m=(x1,y1,z1),由m·EQ=0,m·FQ=0,得-x1+2y1-z1=0,设平面PDC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),由n·DP=0,n·CP=0,得-x2-y2+2z2=0,设平面DGH与平面GHE的夹角为θ,则cosθ=|cos<m,n>|=|m20.(本小题满分12分)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线l:x-y-2=0的距离为32(1)求抛物线的标准方程;(2)设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证:圆C恒过定点.(1)解因为x2=2py的焦点坐标为0,由点到直线的距离公式可得-p解得p=2(负值舍去),所以抛物线的标准方程是x2=4y.(2)证明设圆心C的坐标为x0,x0又圆C在x轴上截得的弦长为4,所以r2=4+x0242,所以圆C的标准方程为(x-x0)2+y-化简得1-y2x02-2xx0+(x2+y对于任意的x0∈R,方程①均成立,故有1-y2=0,所以圆C恒过定点(0,2).21.(本小题满分12分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,点E是线段CD上靠近点D的一个三等分点,点F是线段AD上的一个动点,且DF=λDA(0≤λ≤1).如图,将△BCE沿BE折起至△BEG,使得平面BEG⊥平面ABED.(1)当λ=12时,求证:EF⊥BG(2)是否存在λ,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为13?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由解(1)当λ=12时,点F是AD的中点∴DF=12AD=1,DE=13CD=∵∠ADC=90°,∴∠DEF=45°.∵CE=23CD=2,BC=2,∠BCD=∴∠BEC=45°.∴BE⊥EF.又平面GBE⊥平面ABED,平面GBE∩平面ABED=BE,EF⊂平面ABED,∴EF⊥平面BEG.∵BG⊂平面BEG,∴EF⊥BG.(2)以C为原点,CD,CB的方向为x轴,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则E(2,0,0),D(3,0,0),F(3,2λ,0).取BE的中点O,∵GE=BG=2,∴GO⊥BE,∴易证得OG⊥平面BCE,∵BE=22,∴OG=2,∴G(1,1,2).∴FG=(-2,1-2λ,2),EG=(-1,1,2),DG=(-2,1,2).设平面DEG的一个法向量为n=(x,y,z),则n令z=2,则n=(0,-2,2).设FG与平面DEG所成的角为θ,则sinθ=|cos<FG,n>|=|-2解得λ=12或λ=-710(∴存在实数λ,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为13,此时λ=122.(本小题满分12分)M是椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,F是椭圆T的右焦点,A为左顶点,B为上顶点,O为坐标原点,如下图所示,已知|MF|的最大值为3+(1)求椭圆T的标准方程;(2)求△ABM的面积的最大值S0.若点N(x,y)满足x