2022年高考冲刺数学（理）试题（湖北卷）2

2014年高考数学（理）试题（湖北卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.为虚数单位，则（）A.B.C.D.答案：C答案解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))eq\s\up12(2)＝eq\f(－2i,2i)＝－1.故选A.考点：复数的运算难度：易2、若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A、2B、C、1D、答案：D答案解析：展开式中含eq\f(1,x3)的项是T6＝Ceq\o\al(5,7)(2x)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)))eq\s\up12(5)＝Ceq\o\al(5,7)22a5x－3，故含eq\f(1,x3)的项的系数是Ceq\o\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1.故选C.考点：二项式定理的通项公式难度：易3.设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A答案解析：若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁UC，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C.考点：集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断难度：易4.根据如下样本数据345678得到的回归方程为，则（）A.B.C.D.答案：B答案解析：作出散点图如下：观察图象可知，回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0.故a>0，b<0.故选B.考点：根据已知样本判断线性回归方程中的的符号难度：易5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②答案：D答案解析：由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.考点：考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状.难度：易6.若函数f(x)，g(x)满足eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3答案：C答案解析：由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝0.①eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)sineq\f(1,2)xcoseq\f(1,2)xdx＝eq\f(1,2)eq\i\in(－1,1,)sinxdx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)cosx))eq\o\al(1,－1)＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x＋1)(x－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－x))eq\o\al(1,－1)＝－eq\f(4,3)≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)x·x2dx＝eq\f(x4,4)eq\o\al(1,－1)＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.故选C.考点：考查微积分基本定理的运用难度：易7.由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（）\f(1,8)\f(1,4)\f(3,4)\f(7,8)答案：D答案解析：作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，SΩ1＝S△AOB＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△BCE＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，则S四边形AOEC＝SΩ1－S△BCE＝2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4).故由几何概型得，所求的概率P＝eq\f(S四边形AOEC,SΩ1)＝eq\f(\f(7,4),2)＝eq\f(7,8).故选D.考点：考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型难度：中8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）B.C.D.答案：B答案解析：设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr，由题意得eq\f(1,36)L2h≈eq\f(1,3)Sh，代入S＝πr2化简得π≈3；类比推理，若V＝eq\f(2,75)L2h，则π≈eq\f(25,8).故选B.考点：考查《算数书》中的近视计算难度：易9.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()\f(4\r(3),3)\f(2\r(3),3)C．3D．2答案：A答案解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4aeq\o\al(2,1)＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋2r1r2，4aeq\o\al(2,2)＝req\o\al(2,1)－2r1r2＋req\o\al(2,2).又由余弦定理得4c2＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－r1r2，消去r1r2，得aeq\o\al(2,1)＋3aeq\o\al(2,2)＝4c2，即eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,eeq\o\al(2,2))＝4.所以由柯西不等式得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e1)＋\f(1,e2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e1)＋\f(1,\r(3))×\f(\r(3),e2)))eq\s\up12(2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,eeq\o\al(2,1))＋\f(3,eeq\o\al(2,2))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))＝eq\f(16,3).所以eq\f(1,e1)＋eq\f(1,e2)≤eq\f(4\r(3),3).故选A.考点：考查椭圆双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求值难度：中10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,6)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))答案：B答案解析：因为当x≥0时，f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－a2))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2a2))－3a2))，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－x＋2a2－x－3a2))＝－x；当a2<x<2a2时，f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a2＋2a2－x－3a2))＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a2＋x－2a2－3a2))＝x－3a2.综上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，0≤x≤a2，,－a2，a2<x<2a2，,x－3a2，x≥2a2.))因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－eq\f(\r(6),6)≤a≤eq\f(\r(6),6).故选B.考点：考查奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立难度：中二、填空题：本大题共6小题，考生共答5小题，每小题5分，共25分11.设向量，，若，则实数________.答案：±3答案解析：因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.考点：考查平面向量的坐标运算、数量积难度：易12.直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.答案：2答案解析：依题意得，圆心O到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的eq\f(1,4)，即eq\f(|a|,\r(2))＝eq\f(|b|,\r(2))＝1×sin45°，得|a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2.考点：直线与圆相交，点到直线的距离公式难度：易13.设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果________.答案：495答案解析：取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693；由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594；由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495；由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.考点：考查程序框图，当型循环结构难度：易14.设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.当时，为的几何平均数；当时，为的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）答案：(1)eq\r(x)(2)x(或填(1)k1eq\r(x)；(2)k2x，其中k1，k2为正常数)答案解析：设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：(1)依题意，c＝eq\r(ab)，则eq\f(0－f（a）,c－a)＝eq\f(0＋f（b）,c－b)，即eq\f(0－f（a）,\r(ab)－a)＝eq\f(0＋f（b）,\r(ab)－b).因为a>0，b>0，所以化简得eq\f(f（a）,\r(a))＝eq\f(f（b）,\r(b))，故可以选择f(x)＝eq\r(x)(x>0)；(2)依题意，c＝eq\f(2ab,a＋b)，则eq\f(0－f（a）,\f(2ab,a＋b)－a)＝eq\f(0＋f（b）,\f(2ab,a＋b)－b)，因为a>0，b>0，所以化简得eq\f(f（a）,a)＝eq\f(f（b）,b)，故可以选择f(x)＝x(x>0)．考点：考查两个数的几何平均数与调和平均数难度：中15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，为⊙的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交⊙于两点，若则.答案：4答案解析：由切线长定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.考点：考查圆的切线长定理，切割线定理难度：易16.已知曲线C1的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1))答案解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)，))消去t得y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)，即曲线C1的普通方程是y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x2＋y2＝4，即曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x（x≥0），,x2＋y2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1.))故曲线C1与C2的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1)).考点：考查参数方程、极坐标方程与平面直角方程的转化，曲线的交点.难度：易.三、解答题17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；求实验室这一天的最大温差；若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？答案：（I）；（II）10时至18时答案解析：（I）因为，又，所以，，当时，；当时，；于是在上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为（II）依题意，当时实验室需要降温.由（1）得，所以，即，又，因此，即，故在10时至18时实验室需要降温.考点：三角函数的解析式的计算根据函数的解析式求函数的最值利用三角函数解决实际问题难度：中18.（本小题满分12分）已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（I）求数列的通项公式.（II）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.答案：（I）或；（II）41答案解析：（I）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以，化简得，解得或，当时，；当时，，从而得数列的通项公式为或.（II）当时，，显然，不存在正整数，使得.成立当时，，令，即，解得或（舍去）此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.综上所述，当时，不存在满足题意的；当时，不存在满足题意的；的最小值为41.考点：等差等比数列的计算求等差数列的通项数列的求和根据等差数列的求和公式求最值难度：中19.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（I）当时，证明：直线平面;（II）是否存在，使平面与面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.答案：（I）略；（II）答案解析：（I）证明：如图1，连结，由是正方体，知，当时，是的中点，又是的中点，所以，所以，而平面，且平面，故直线平面.（II）如图2，连结，因为、分别是、的中点，所以，且，又，，所以四边形是平行四边形，故，且，从而，且，在和中，因为，，于是，，所以四边形是等腰梯形，同理可证四边形是等腰梯形，分别取、、的中点为、、，连结、，则，，而，故是平面与平面所成的二面角的平面角，若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则，连结、，则由，且，知四边形是平行四边形，连结，因为、是、的中点，所以，在中，，，，由得，解得，故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.向量法：以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，由已知得，所以，，，（I）证明：当时，，因为，所以，即，而平面，且平面，故直线平面.（II）设平面的一个法向量，由可得，于是取，同理可得平面的一个法向量为，若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.考点：直线与平面的平行二面角的计算空间向量的求解探索性问题的计算难度：中20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（I）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（II）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？答案：（I）；（II）2答案解析：（I）依题意，，，，由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：.（II）记水电站年总利润为（单位：万元）=1\*GB3①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，.=2\*GB3②安装2台发电机.当时，一台发电机运行，此时，因此，当时，两台发电机运行，此时，因此.由此得的分布列如下：420010000所以.=3\*GB3③安装3台发电机.依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，此时，当时，三台发电机运行，此时，因此，由此得的分布列如下：34920015000所以.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.考点：概率的应用概率的计算分布列的计算期望的求解难度：中21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C.（1）求轨迹为C的方程（2）设斜率为k的直线过定点，求直