2022年人教版九2022年级数学下册锐角三角函数综合训练（word解析版）

人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数综合训练一、选择题1.(2019•天津)的值等于A．1 B． C． D．22.(2019•湖南怀化)已知∠α为锐角，且sinα=，则∠α=A．30° B．45° C．60° D．90°3.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A间的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于()A．100sin35°米 B．100sin55°米C．100tan35°米 D．100tan55°米4.如图，在△ABC中，cosB＝eq\f(\r(2),2)，sinC＝eq\f(3,5)，AC＝5，则△ABC的面积是()\f(21,2) B．12 C．14 D．215.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则房屋顶上弦杆AB的长为()\f(9,5sinα)m \f(9,5cosα)m\f(5,9sinα)m \f(5,9cosα)m6.在课题学习后，同学们想为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝米，△BCD表示直角遮阳篷，已知当地一年中午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳篷中CD的长约是(结果保留小数点后一位．参考数据：sin18°≈，tan18°≈，sin66°≈，tan66°≈()A．米 B．米 C．米 D．米7.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶eq\r(3)，则大楼AB的高度约为(精确到米，参考数据：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈，eq\r(6)≈()A.B.C.D.8.(2019•湖南长沙•3分)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．(30+30)nmile9.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A.eq\f(1,1－sinα)B.eq\f(1,1＋sinα)C.eq\f(1,1－cosα)D.eq\f(1,1＋cosα)10.（2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．acosx+bsinxB．acosx+bcosxC．asinx+bcosxD．asinx+bsinx二、填空题11.【题目】（2020·黔东南州）cos60°＝．12.【题目】（2020·攀枝花）.13.如图，在△ABC中，BC＝eq\r(6)＋eq\r(2)，∠C＝45°，AB＝eq\r(2)AC，则AC的长为________．14.如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为________cm(参考数据：sin20°≈，cos20°≈，sin40°≈，cos40°≈.结果精确到cm，可用科学计算器)．15.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝________．16.如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到米，参考数据：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈17.(2019•湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．18.（2020·杭州）如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，OC．若，则________．19.(2019·浙江舟山)如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC2AB2，则tanC=__________．20.如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝40°，∠E＝140°，AB＝EF＝5，BC＝DE＝8，则这两个三角形面积的大小关系为S△ABC________S△DEF(填“＞”或“＝”或“＜”)．三、解答题21.如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝eq\f(1,8).(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值(结果保留小数点后一位．参考数据：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈，eq\r(5)≈．22.某拉杆式旅行箱的侧面示意图如图10所示，已知箱体AB长50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A，B，C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面MN相切于点D，在拉杆伸长到最大的情况下，点B距离水平地面34cm，点C到水平地面的距离CE为55cm，AF∥MN.(1)求⊙A的半径；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为76cm，∠CAF＝64°，求此时拉杆BC的伸长距离(结果取整数．参考数据：sin64°≈，cos64°≈，tan64°≈．23.图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到cm.温馨提示：sin75°≈，cos75°≈，eq\r(3)≈．

24.(2019·本溪)小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF=30cm，CE：CD=1：3，∠DCF=45°，∠CDF=30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求AC的长度(结果保留根号)；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果保留根号)．25.阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβtan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－1×\f(\r(3),3))＝2＋eq\r(3)根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：(1)计算sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为eq\r(3)米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数综合训练-答案一、选择题1.【答案】B【解析】锐角三角函数计算，=2×=，故选A．2.【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sinα=，∴∠α=30°．故选A．3.【答案】C[解析]∵PA⊥PB，PC＝100米，∠PCA＝35°，∴PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°(米)．故选C.4.【答案】A[解析]如图，过点A作AD⊥BC于点D.∵在△ABC中，cosB＝eq\f(\r(2),2)，∴∠B＝45°，∴BD＝AD.∵sinC＝eq\f(AD,AC)，sinC＝eq\f(3,5)，AC＝5，∴eq\f(AD,5)＝eq\f(3,5)，∴AD＝3，∴CD＝4，BD＝3，则△ABC的面积是eq\f(1,2)·AD·BC＝eq\f(1,2)×3×(3＋4)＝eq\f(21,2).5.【答案】B[解析]如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝＋＝(m)．在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，cosB＝eq\f(BD,AB)，所以AB＝eq\f(BD,cosα)＝eq\f,cosα)＝eq\f(9,5cosα).故选B.6.【答案】B[解析]设CD的长为x米．在Rt△BCD中，∠BDC＝α＝18°.∵tan∠BDC＝eq\f(BC,CD)，∴BC＝CD·tan∠BDC≈.在Rt△ACD中，∠ADC＝β＝66°.∵tan∠ADC＝eq\f(AC,CD)，∴AC＝CD·tan∠ADC≈.∵AB＝AC－BC，∴≈－，解得x≈.7.【答案】D【解析】如解图，设AB与DC的延长线交于点G，过点E作EF⊥AB于点F，过点B作BH⊥ED于点H，则可得四边形GDEF为矩形．在Rt△BCG中，∵BC＝12，iBC＝eq\f(BG,CG)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠BCG＝30°，∴BG＝6，CG＝6eq\r(3)，∴BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∵∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝6eq\r(3)＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋20＋6eq\r(3)≈(米)．

8.【答案】D【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC•cos∠ACD=60×=30．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．所以此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30+30)nmile．故选D．9.【答案】A【解析】在Rt△PCB′中，sinα＝eq\f(PC,PB′)，∴PC＝PB′·sinα，又∵B′D＝AC＝1，则PB′·sinα＋1＝PA，而PB′＝PA，∴PA＝eq\f(1,1－sinα).10.【答案】A【解析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，∴∠CDE+∠ADO＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAO＝x，∵sin∠DAO，cos∠CDE，∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝D×cos∠CDE＝acosx，∴OE＝DE+OD＝acosx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；因此本题选A．二、填空题11.【答案】【答案】12.【答案】【解析】由特殊角的三角函数值可知.13.【答案】2[解析]过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．设AC＝x，则AB＝eq\r(2)x.在Rt△ACD中，AD＝AC·sinC＝eq\f(\r(2),2)x，CD＝AC·cosC＝eq\f(\r(2),2)x.在Rt△ABD中，AB＝eq\r(2)x，AD＝eq\f(\r(2),2)x，∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\f(\r(6),2)x.∴BC＝BD＋CD＝eq\f(\r(6),2)x＋eq\f(\r(2),2)x＝eq\r(6)＋eq\r(2)，∴x＝2.14.【答案】【解析】如解图，过点B作BE⊥CD于点E，∵BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40°，∴∠CBE＝20°，在Rt△CBE中，BE＝BC·cos∠CBE≈15×＝(cm)．15.【答案】2eq\r(2)【解析】如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(62－22)＝4eq\r(2)，∵∠D＝∠A，∴tanD＝tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(4\r(2),2)＝2eq\r(2).16.【答案】【解析】在Rt△AMD中，DM＝tan∠DAM×AM＝tan45°×4＝4米，在Rt△BMC中，CM＝tan∠MBC×BM＝tan30°×12＝4eq\r(3)米，故CD＝CM－DM＝4eq\r(3)－4≈米．17.【答案】0【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．18.【答案】【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与⊙O相切于点B，所以AB⊥BC，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，因为sin∠BAC＝，所以＝．设BC＝x，则AC＝3x．在Rt△ABC中，由勾股定理得直径AB＝＝＝，所以半径OB＝．在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本题答案为．19.【答案】【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，∴AC2–BC2=(AD+DC)2–(DC2+BD2)=AD2+DC2+2AD•DC–DC2–BD2=2AD•DC=2BD•DC，∵AC2–BC2AB2，∴2BD•DC2BD2，∴DCBD，∴．故答案为:．20.【答案】＝[解析]如图，在△ABC中，过点A作AG⊥BC，垂足为G.在△DEF中，过点F作FH⊥DE，交DE的延长线于点H，∴AG＝sinB·AB＝5sin40°.∵∠DEF＝140°，∴∠FEH＝40°，∴FH＝sin∠FEH·EF＝5sin40°，∴AG＝FH.又∵BC＝DE，∴S△ABC＝S△DEF.三、解答题21.【答案】解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图所示．在Rt△ADC中，AC＝4.∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝eq\f(1,2)AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).在Rt△ABD中，∵tanB＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(2,BD)＝eq\f(1,8)，∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－2eq\r(3).(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图所示．∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，∴tan15°＝tan∠AMD＝eq\f(AD,MD)＝eq\f(2,4＋2\r(3))＝eq\f(1,2＋\r(3))≈eq\f(1,2＋≈.22.【答案】解：(1)如图，过点B作BH⊥MN于点H，交AF于点K，则BK∥CG，∴△ABK∽△ACG.设圆形滚轮⊙A的半径是xcm，则eq\f(BK,CG)＝eq\f(AB,AC)，即eq\f(34－x,55－x)＝eq\f(50,50＋35)，解得x＝4．经检验，x＝4是所列方程的解，则⊙A的半径是4cm.(2)在Rt△ACG中，CG＝76－4＝72(cm)，则sin∠CAF＝eq\f(CG,AC)，∴AC＝eq\f(CG,sin∠CAF)≈eq\f(72,＝80(cm)，∴BC＝AC－AB≈80－50＝30(cm)．故此时栏杆BC的伸长距离约为30cm.23.