自考复变函数与积分变换_第1页
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文档简介

4.4罗朗级数泰勒级数是解析函数在圆域内的哥级数展开式，其中只含非负整数次塞.一.罗朗级数nn引例求级数m^z的收敛域.1 nnnn分析令W工则nl2nz nl2nwnn n对级数nl2nW,记Cn2n，limnlimn(n1)2n

limnlimn(n1)2n

2n1nlimn(n1)2nnnn12nw的收敛半径n即当w2时，级数ni2nw收敛因此当日2时，级数n1gzn收敛1 口n即当z2时，级数n12nz收敛.nn说明：n12nz是一个由负整数次募构成的募级数.罗朗级数如下形式的由非负整数次募构成的募级数，即普通的募级数，和负整数次募构成的募级数相加所得的级数Cn(ZZCn(ZZ0)nnCn(ZZ0)nn0Cn(ZZ0)nn1罗朗级数的收敛域一般情况下，募级数的收敛域是圆域z zol R的内部，「一/ \1 \/ \:\|z-/负整数次募募级数的收敛域是圆域zzolR^的外部，罗朗级数的收敛域是圆环域zzo说明1)罗朗级数在上述圆环的边界上可能收敛，可能发散；2)r0或R 是上述圆环域的特殊情形.定理设函数f(z)在圆环域Rz司R内解析，则f(z)在此圆环域内可以唯一地展开成罗朗级数f(Z) Cn(ZZ0)nn ，.「 f()dnZ.一其中cn2ic( z0)n1d，nZ,C为圆环内任意一条绕4的正向闭曲线.罗朗级数的解析部分 罗朗级数中的非负整数次募募级数罗朗级数的主要部分 罗朗级数中的负整数次募募级数注意当n0时，罗朗级数的系数cn与泰勒级数的系数有相同的积分形式，却不能画等号！罗朗级数和泰勒级数的关系 当函数f(z)在圆域z4R内解析时，罗朗级数的主要部分的系数

1 o-2i1 o-2iC(f()Zo),n\cf()(小1d02i ，而解析部分的系数

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