2019年《空间向量的数乘运算》教案

第二课时空间向量的数乘运算（二）教课要求：认识共线或平行向量的看法，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中相关的简单问题．Rvx5YPIk教课要点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教课过程：一、复习引入1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？如何判断向量b与非零向量a能否共线？方向相同也许相反的非零向量叫做平行向量．因为任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量也叫做共线向量．Rvx5YPIk向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理，二、新课解说定义：与平面向量相同，假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些aa向量叫做共线向量或平行向量．平行于b记作//b．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.Rvx5YPIk理解：⑴上述定理包括两个方面：aa①性质定理：若∥b（≠0），则有b＝λa，此中λ是独一确立的实数。②判判定理：若存在独一实数λ，使b＝λa（a≠0），则有a∥b（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）.⑵关于确立的λ和a，b＝λa表示空间与a平行或共线，长度为|λa|，当λ>0时与a同向，Rvx5YPIk当λ<0时与a反向的全部向量.3.推论：假如l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么关于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式OP=OA+ta．此中向量a叫做直线l的方向向量.推论证明以下：∵l//a，∴关于l上任意一点P，存在独一的实数t，使得AP=ta．(*)又∵关于空间任意一点O，有AP=OP-OA，∴OP-OA=ta，OP=OA+ta．①若在l上取AB=a，则有OP=OA+tAB．(**)又∵AB=OB-OA∴OP=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tO．B②当t=时，OP=(OA+OB)．③理解：⑴表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．Rvx5YPIk⑵表达式①和②三角形法规得出的，可以据此记忆这两个公式．⑶推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判断．空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完整相同，是平面向量相关知识的推行．1/3出示例1：用向量方法证明按序连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形.（解析：如何用向量方法来证明？）OD.12125.出示例2：如图O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点，分别用OA、OB表示OC、Rvx5YPIk三、牢固练习：第三课时空间向量的数乘运算（三）教课要求：认识向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中相关的简单问题．Rvx5YPIk教课要点：点在已知平面内的充要条件．教课难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．教课过程：一、复习引入空间向量的相关知识——共线或平行向量的看法、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．Rvx5YPIk2.必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：假如e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.此中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．Rvx5YPIk二、新课解说1.定义：假如表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．Rvx5YPIk向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时二者是没有公共点的．定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不必定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．谈论：空间中任意三个向量必定是共面向量吗？请举例说明．结论：空间中的任意三个向量不必定是共面向量．比方：关于空间四边形ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．谈论：空间三个向量具备如何的条件时才是共面向量呢？5.得出共面向量定理：假如两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p=xa+yb．证明：必需性：由已知，两个向量a、b不共线．∵向量p与向量a、b共面∴由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得p=xa+yb．充分性：如图，∵xa，yb分别与a、b共线，∴xa，yb都在a、b确立的平面内．又∵xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，而且此平行四边形在a、b确立的平面内，Rvx5YPIk∴p=xa+yb在a、b确立的平面内，即向量p与向量a、b共面．说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实质上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判准时，还需要证明此中一条直线上有一点在另两条直线所确立的平面内．Rvx5YPIk共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MP=xMA+yMB，①或关于空间任意必定点O，有OP=OM+xM+A．②MRvx5YPIk2/3解析：⑴推论中的x、y是独一的一对有序实数；⑵由OP=OM+xMA+yMB得：OP=OM+x(OA-OM)