河北省衡水中学2023-2023学年度高三年级第二学期期中考试(数学理)

河北省衡水中学2007—2023学年度高三年级第二学期期中考试数学试题（理科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．复数，则复数z= （）A．2B．-2C．D．2．在△ABC中，若，则△的形状为 （） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形3．在下列各极限中，极限值为1的为 （） A． B． C． D．4．已知直线，直线，有下面四个命题，其中正确的命题序号是（）（1）（2）（3）（4） A．（1）与（2）B．（3）与（4） C．（2）与（4） D．（1）与（3）5．若是R上的减函数，且，设，若“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是 （） A． B． C． D．6．在内，使成立的的取值范围为 （） A． B． C． D．7．下列命题中的真命题为 （） A．{}为等比数列，则数列一定是等比数列; B．等比数列的首项为，公比为.若>0且>1，则对于任意正整数n,都有; C．已知数列{}的前n项和,则=2. D．已知等差数列{}的前n项和,则=0．8．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围（） A． B．（） C． D．9．现从5张50元，3张100元，2张200元的奥运会篮球预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为 A． B． C． D．10．过原点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于与，则四边形20230423面积最小值为 （）20230423 A． B． C． D．11．已知正方体的棱长为1，下列结论：（1）；（2）和所成的角为；（3）点A与点在该正方体外接球表面上的球面距离为，其中正确结论的个数是 （） A．0 B．1 C．2 D．312．过曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是（） A． B． C． D．不确定第Ⅱ卷（非选择题，共90分）2023042320230423二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分.把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）13．如果数列满足是首项为1，公比为2的等比数列，则14．已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则15．我校化学实验室需购买某化学药品106kg，现在市场上该药品有两种包装，一种是每瓶35kg，价格为140元；另一种是每瓶24kg，价格为120元，在满足需要的情况下，最少要花费元16．对于下列四个命题：（1）若向量，满足，则向量的夹角为钝角；（2）已知集合正四棱柱}，{长方体}，则；（3）在平面直角坐标平面内，点与在直线的同侧（4）规定下式对任意都成立==，则，其中真命题是.三、解答题：（本大题共六小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知函数（1）求的单调递增区间；（2）中，角、、的对边分别是，，，满足，求函数的取值范围.18．（本题满分12分）某投资商准备在某市投资甲、乙两个不同的项目，这两个项目投资是否成功相互独立，预测结果如下表：预测结果项目成功失败甲概率利润盈亏（百万元）0.80.2+3-2乙概率利润盈亏（百万元）0.70.3+4-2（1）求恰有一个项目投资成功的概率；（2）求这个投资商投资这两个项目的期望利润CBAB1A11C1DE19．（本小题满分12分）如图,在直三棱柱ACBAB1A11C1DED、E分别为棱AA1、A1B1的中点（1）求二面角B-C1D-C的平面角的余弦值；（2）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面C1BD?若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.20．（本题满分12分）已知：，.（1）求、、；（2）求数列的通项公式；（3）求证：21．已知函数和函的图像在处的切线互相平行.（1）求的值；（2）设，当时，恒成立，求的取值范围.22．（本题满分12分）已知，两点，动点P为y轴左侧的点，记点P在x轴上的射影为H，且与分别是公比为2的等比数列的第三、四项。（1）求动点P的轨迹曲线E的方程;（2）过点（0，-1）的直线l与曲线E交于A、B两点，且|AB|=若曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S参考答案20230423一、选择题：ADBDCDBCBACA20230423二、填空题13．14．15．500元16．（4）三、解答题：17．解：2分令解得：的单调递增区间；4分（2）由得：6分∵∴∴∴8分∴∴函数的取值范围10分18．（理科）解：（1）设投资甲、乙两个项目成功的事件分别为A、B所以恰有一个项目投资成功的概率为0.38．----------------------6分（2）投资两个项目的盈利亏本的情况的分布如下表：预测结果AB利润盈亏721-4概率0.560.140.240.06----------------------10分所以投资商投资这两个项目的期望利润为4.2百万元。-------------------------12分19．解：（1）延长CA交C1D于K，连结BK过A做AT⊥C1K,垂足为T.，由AA1⊥AB,AC⊥AB,AC∩AA1=A得AB⊥平面AA1AB⊥C1K∠ATB为二面角B-C1D-C的平面角---------------------3分C1K=a,AT=BT=acos∠ATB=二面角B-C1D-C的平面角的余弦值；----------------------------6分（2）存在点F为线段AC中点无论F在何处，总有EF在平面AB1内的射影与DB垂直故只需EF与C1D垂直F位AC中点时又EF在平面AC1内的射影与C1D垂直此时EF⊥平面C1BD20．解：解：（I）由已知，所以1分，所以，所以3分（II）即所以对于任意的，7分（III）∴①②①─②，得9分∴，又=1，2，3…，故<112分21．（理科）解：（1）因为两函数在处的切线互相平行所以------------------------4分（2）令----------------8分当时，；当时，又单调性知当时，有；当时，有当时，恒成立或解的故的取值范围为------------------------12分22．解：设动点P的坐标为（x,y）,所以H（x，0）=（0,-y）,=（-1-x,-y）,=（1-x,-y）=y2;=x2+y2-1由条件得x2-y2=1所以所求动点P的轨迹方程为x2-y2=1（x<-1）--------------4分（2）显然直线l存在斜率消去y得：（1-k2）x2+2kx-2=0解得:------------6分（2）|AB|==2=6解得：或