河南省洛阳市孟津一高、灵宝一高2023届高三下学期两校联考数学(理)试题

2023年洛阳市示范高中联考高三理科数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、复数（，是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限2．下列函数中，在内有零点且单调递增的是()A．B．C．D．3．阅读右侧的算法框图，输出结果的值为A．B．C.D．4．先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（-1，1）的夹角的概率是 （） A． B． C． D．5．已知，则的值为 （） A．B．C．D．6．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．正视图侧视图俯视图（A） （B） （C） （D）7．.由曲线围成的封闭图形的面积为A.B. C. D.8．设等差数列的前项和为，若,则的值是A．24B．19C．36D．409已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．三棱锥的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为A． B． C． D．11．若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是A． B． C． D.12．如图，在直角梯形中，，∥，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设（，），则取值范围是A．B．C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．已知实数、满足，则－3的最大值是_______.14．函数的图象向左平移m个单位后，得到函数的图象，则的最小值为_______15．若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是16．下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：父亲身高（cm）173170176儿子身高（cm）170176182因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为．参考是：，其中；其中是与对应的回归估计值.参考数据：，.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，q=（，1），p=（，）且．求：（I）求sinA的值；（II）求三角函数式的取值范围．18．（本小题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望。19．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，分别为的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面．（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分） 已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形． （1）求椭圆的方程； （2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）当时，对于任意的，证明：不等式请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲ACBEOD如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．ACBEOD（I）求证：直线是⊙的切线；（II）若⊙的半径为3，求的长．23.(本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程．已知直线为参数),曲线（为参数）.（Ⅰ）设与相交于两点,求；（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设（）（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若当，恒成立，求实数的取值范围．高三理科数学答案1-5ABDDA6-10AAABB11-12CA13.-114.15.16.185cm17.解：（I）∵，∴，…………（2分）根据正弦定理，得，又，…………（4分），，，又；sinA=…………（6分）（II）原式，…………（8分），…………（10分）∵，∴，∴，∴，∴的值域是．…………（12分）18.解（I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则………………4分（II）的可能值得为0，1，2，3，4，5……………9分所以随机变量的分布列如下：012345………10分故………12分19.证明：（Ⅰ）∵四边形是菱形，∴．在中，，，∴．∴，即．又，∴．…2分∵平面，平面，∴．又∵，∴平面，………4分又∵平面，平面平面．………………6分（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，∴平面平面………6分∵平面，∴．由（Ⅰ）知，又∴平面，又平面，∴平面平面．…………8分∴平面是平面与平面的公垂面．所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．……9分在中，，即．……………10分又，∴．所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…………12分理（Ⅱ）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，、、、，…………6分则，，．………7分由（Ⅰ）知平面，故平面的一个法向量为．……8分设平面的一个法向量为，则，即，令，则．…10分∴．所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………12分20．（1）………4分 （2）i）若n=0，ii）若m=0,且过定点（0,1）………6分 iii） 设A（x1,y1）,B（x2,y2），则以AB为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0…8分∵∴圆方程为： 将（0,1）代入显然成立，故存在T（0,1）符合题意。…12分21．解析（I）原函数的定义域为，因为当时，所以此时函数上是增函数，在上是减函数；当时，令，解得（舍去），此时函数在上增函数，在上是减函数；当时，令，解得此时函数在上是增函数，在和上是减函数………6分（II）由（I）知：时，上是增函数，设则恒成立单调递减又不等式得证…………………12分22．证明：（Ⅰ）如图，连接OC,OA=OB,CA=CB,是圆的半径，是圆的切线.(3分)（Ⅱ）是直径，又2（5分）∽（7分）设，则，……..（9分）（10）分23解.（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则.----------5分（II）的